A raudales se exprimen las arcas públicas en nombre de los derechos adquiridos. Por supuesto, degustar de esas mieles no es para «cualquiera». Solo los encumbrados elegidos pueden a ellas acceder.
Únete a nosotros en una nueva travesía matemática que versa sobre cuestiones elementales del cálculo infinitesimal y el álgebra lineal. Esperamos que todos nuestros lectores gusten de ella.
ACERTIJO
Dificultad: 3 / 5
Temas: Álgebra, álgebra lineal, cálculo diferencial.
Tres funcionarios públicos que consideraban magnífico e inconmensurable su hacer, usando de todos las herramientas legales de las que pudieron echar mano, se concedieron a sí mismos un finiquito de no pocos millones de pesos.
En su nada transparente proceder, dejaron instrucciones para que quien preguntase por el monto asignado a cada uno, recibiera como respuesta una cantidad menor a la realmente percibida.
Por ejemplo, aseguraba uno de ellos que se llevaría solamente
E\times10^6 \color{LightGray}\phantom{xx}\small\left(\mathrm{MXN}\right)siendo E el valor verdadero en \,x=0\, de la expresión
\displaystyle\frac{\sqrt{xy'-y\,\,\vphantom{\big|}}}{x\tan x \,+\left(y'\right)^2\vphantom{\Big|}}y con
\def \arraystretch{1.3}
y\;=\;
\left|
\begin{array}{ccccc}
1&1&1&1&1\\
1&x+1&1&1&1\\
1&1&x+1&1&1\\
1&1&1&x+1&1\\
1&1&1&1&x+1
\end{array}
\right|No obstante, los pillos se embolsaron (en promedio y cada uno) un monto 5{,}5 veces superior.
¿Cuánto vale el finiquito referido?
¡Ponte a prueba e inténtalo!
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SOLUCIÓN
Los lectores que han seguido de cerca nuestras publicaciones semanales de seguro gozan de la experticiaa necesaria para resolver el enigma sin mayores complicaciones.
En efecto, se trata de un problema sencillo.
Comencemos calculando el valor de \,y\,. Según lo hemos expuesto en el desafío «Un urdido y pérfido desvío», para tratar con determinantes de orden \,n\, resulta conveniente efectuar transformaciones elementales entre sus filas o columnas con el propósito de obtener un determinante cuyo cálculo sea más simple.
Si, por ejemplo, restamos de las filas segunda, tercera, cuarta y quinta, la primera, resulta
\def \arraystretch{1.3}
y=
\left|
\begin{array}{ccccc}
1&1&1&1&1\\
0&x&0&0&0\\
0&0&x&0&0\\
0&0&0&x&0\\
0&0&0&0&x
\end{array}
\right|Y ya que el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal, hallamos que
y=1\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x=x^4
De aquí se desprende que1
y'\equiv\displaystyle\frac{dy}{dx}=4x^3En consecuencia,
\def\arraystretch{4}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{\sqrt{xy'-y\,\,\vphantom{\big|}}}{x\tan x \,+\left(y'\right)^2\vphantom{\Big|}}&=&\displaystyle\frac{\sqrt{x\cdot4x^3-x^4\,\,\vphantom{\big|}}}{x\tan x \,+\left(4x^3\right)^2\vphantom{\Big|}} \\
&=&\displaystyle\frac{\sqrt{3x^4\,\,\vphantom{\big|}}}{x\tan x \,+16x^6\vphantom{\Big|}}\\
&=&\sqrt{3\;}\;\displaystyle\frac{x^2\,\,}{x\tan x \,+16x^6\vphantom{\Big|}}\\
&=&\sqrt{3\;}\;\displaystyle\frac{x^2\,\,}{x^2\left(\frac{\tan x}{x} \,+16x^4\right)\vphantom{\Big|}}\\
&=&\sqrt{3\;}\;\displaystyle\frac{1}{\frac{\tan x}{x} \,+16x^4\vphantom{\Big|}}
\end{array}Así, por valor verdadero de E en \,x=0\,, entendemos
\def \arraystretch{2.9}
\begin{array}{rcl}
E&=&\mathrm{lím}_{x\to0}\;\sqrt{3\;}\;\displaystyle\frac{1}{\frac{\tan x}{x} \,+16x^4\vphantom{\Big|}}\\
&=&\sqrt{3\;}\;\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;\displaystyle\frac{1}{\frac{\tan x}{x} \,+16x^4\vphantom{\Big|}}\\
&=&\sqrt{3\;}\;\displaystyle\frac{\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;1}{\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;\frac{\tan x}{x} \,+\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;16x^4\vphantom{\Big|}}\\
\end{array}Dos de estos límites son inmediatos
\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;1=1y
\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;16x^4=0El límite restante tampoco es de difícil resolución
\def\arraystretch{3}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;\frac{\tan x}{x}
&=&\displaystyle\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;\frac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot\frac{1}{x}\\
&=&\displaystyle\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;\frac{\mathrm{sen\,}x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\\
&=&\displaystyle\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;\frac{\mathrm{sen\,}x}{x}\cdot \displaystyle\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;\frac{1}{\cos x}
\end{array}Advertimos de inmediato que
\displaystyle\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;\frac{1}{\cos x}=1El último de los límites por considerar puede parecer intimidante por conducir a una indeterminación
\displaystyle\mathrm{lím}_{x\to0}\;\;\frac{\mathrm{sen\,}x}{x}=\color{IndianRed}\left[\frac{\,0\,}{0}\right]pero es bien conocido2 que para valores de \,x\, próximos a \,0\,.
\mathrm{sen}\,x\cong xLuego
\displaystyle\frac{\mathrm{sen\,}x}{x}\to1\;\;\mathrm{\phantom{000}si\phantom{000}}x\to0y, de este modo
E=\sqrt{3}Finalmente, como
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
E\times10^6&=&\sqrt{3}\times10^6\\
&\cong&1\,732\,051
\end{array}asumimos que el finiquito asciende, aproximadamente, a
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
5{,}5\cdot E\times10^6&\cong&9\,526\,279\\
\end{array}Es decir, nueve millones quinientos veintiséis mil doscientos setenta y nueve pesos. Un poco más de 9,5 millones para cada uno. ¡Menudo desfalco!
1Recuérdese que \displaystyle \frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}
2Como se sigue, por ejemplo, de su serie de McLaurin: \;\mathrm{sen}\,x=x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\;\vphantom{\Bigg|}. El lector deseoso de repasar o conocer algunos pormenores puede consultar el siguiente enlace: https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/6-3-series-de-taylor-y-maclaurin
a Este término es un americanismo. Véase la primera de las acepciones dadas en https://www.asale.org/damer/experticia
