Aunque ficticio, un desvío como el de la trama de este acertijo no es un desvarío. Lamentablemente estas tretas aún son parte de la vida política del país, pero creemos que se han dado los primeros pasos para extirparlas.
Acompáñanos en la resolución de este problema; te aseguramos que no te arrepentirás.
ACERTIJO
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SOLUCIÓN
Pese a tratarse de un determinante de un orden muy pequeño, el método que elijamos para resolverlo puede conducirnos por un camino agotador o bien, por una vía de sencillez deslumbrante.
En este caso, un ingenioso manejo de las propiedades de los determinantes harán de esto una fácil faena.
Propiedades de los determinantes
Aunque son muchas más de las aquí enunciadas, nos ocuparemos de tres cuya utilidad será evidente prontamente.
1.- Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella, su determinante no varía:
\left|
\begin{array}{ccc}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i\\
\end{array}
\right|
=
\left|
\begin{array}{ccc}
a&b&c\\
d&e&f\\
a+g&b+h&c+i\\
\end{array}
\right|2.- Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella multiplicada por un número real cualquiera, su determinante no varía:
\left|
\begin{array}{ccc}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i\\
\end{array}
\right|
=
\left|
\begin{array}{ccc}
a+\lambda c&b&c\\
d+\lambda f&e&f\\
a+\lambda i&b&i\\
\end{array}
\right|
\phantom{xx},\phantom{xx}\lambda \in \mathbb{R}3.- Si multiplicamos todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por un número \lambda, su determinante queda multiplicado por dicho número:
\left|
\begin{array}{ccc}
\lambda a&b&c\\
\lambda d&e&f\\
\lambda g&h&i\\
\end{array}
\right|
=
\lambda\cdot
\left|
\begin{array}{ccc}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&b&i\\
\end{array}
\right|
\phantom{xx},\phantom{xx}\lambda \in \mathbb{R}Determinantes de matrices de orden n
Seguramente el lector está familiarizado desde la educación secundaria con el cálculo de determinantes de orden 3 mediante la regla de Sarrus. No obstante, para determinantes de orden mayor es preciso seguir otro tipo de desarrollos. Exponemos los detalles cruciales enseguida.
Dada una matriz cuadrada A, de orden n\geq2, se llama menor complementario del elemento a_{ij}, y se designa por M_{ij}, al determinante obtenido al suprimir la fila i y la columna j.
Decimos de la expresión
\begin{equation}
A_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}M_{ij}
\end{equation}que es el adjunto del elemento a_{ij}.
Bajo esta convención, el determinante de A se obtiene multiplicando los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos adjuntos, y sumando los resultados. Así, si
A=\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
\end{array}
\right)desarrollando por la primera fila
\begin{equation}
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
\left|\,A\,\right|&=&a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+\cdots+a_{1n}\cdot A_{1n}\\
&=&a_{11}\left(-1\right)^{1+1}M_{11}+a_{12}\left(-1\right)^{1+2}M_{12}+\cdots+a_{1n}\left(-1\right)^{1+n}M_{1n}\\
\end{array}
\end{equation}Este método es particularmente útil cuando en una fila o columna abundan los elementos nulos.
Manos a la obra…
Respetando la notación utilizada en el reto de «El apercibido hombre de los numerillos», designaremos por \Delta_i\,, i=1,2,3,\ldots a los sucesivos determinantes obtenidos a partir de las transformaciones hechas entre sus filas o columnas.
Así, si a la primera columna del determinante que nos ocupa le sumamos todas las demás; es decir, efectuando la transformación
C_1^{\left(1\right)}\longrightarrow C_1+C_2+C_3+C_4obtenemos
\Delta_1=
\left|
\begin{array}{cccc}
\color{MediumVioletRed}x+y+z+v&y&z&v\\
\color{MediumVioletRed}x+y+z+v&x&v&z\\
\color{MediumVioletRed}x+y+z+v&v&x&y\\
\color{MediumVioletRed}x+y+z+v&z&y&x
\end{array}
\right|Pero, en virtud de la tercera de las propiedades enunciadas
\Delta_1=\color{MediumVioletRed}\left(x+y+z+v\right)\color{666666}\cdot
\left|
\begin{array}{cccc}
\color{MediumVioletRed}1&y&z&v\\
\color{MediumVioletRed}1&x&v&z\\
\color{MediumVioletRed}1&v&x&y\\
\color{MediumVioletRed}1&z&y&x
\end{array}
\right|Ahora, restando de las filas segunda, tercera y cuarta la primera (lo que es posible merced a la segunda de las propiedades discutidas arriba), obtenemos
\Delta_2=\color{MediumVioletRed}\left(x+y+z+v\right)\color{666666}\cdot
\left|
\begin{array}{cccc}
\color{MediumVioletRed}1&y&z&v\\
\color{MediumVioletRed}0&x-y&v-z&z-v\\
\color{MediumVioletRed}0&v-y&x-z&y-v\\
\color{MediumVioletRed}0&z-y&y-z&x-v
\end{array}
\right|Echando mano de la ventaja que supone el que todos los elementos de la primera columna sean nulos, salvo uno, podemos desarrollarlo por ella, resultando
\Delta_2=\color{MediumVioletRed}\left(x+y+z+v\right)\color{666666}\cdot
\left|
\begin{array}{ccc}
x-y&v-z&z-v\\
v-y&x-z&y-v\\
z-y&y-z&x-v
\end{array}
\right|Si ahora realizamos las siguientes transformaciones
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{c}
C_1^{\left(3\right)}\longrightarrow C_1^{\left(2\right)}+C_2^{\left(2\right)}+C_3^{\left(2\right)}\\
C_2^{\left(3\right)}\longrightarrow C_2^{\left(2\right)}+C_3^{\left(2\right)}\\
\end{array}queda
\Delta_3=\color{MediumVioletRed}\left(x+y+z+v\right)\color{666666}\cdot
\left|
\begin{array}{ccc}
x-y&0&z-v\\
v-y&\color{MediumSlateBlue}x+y-z-v&y-v\\
z-y&\color{MediumSlateBlue}x+y-z-v&x-v
\end{array}
\right|Y, restando la segunda fila de la tercera, podemos poner
\Delta_3=\color{MediumVioletRed}\left(x+y+z+v\right)\color{666666}\cdot
\left|
\begin{array}{ccc}
x-y&0&z-v\\
v-y&\color{MediumSlateBlue}x+y-z-v&y-v\\
z-v&0&x-y
\end{array}
\right|Luego, desarrollando este determinante por la segunda columna, hallamos
\Delta_3=
\color{MediumVioletRed}\left(x+y+z+v\right)
\color{MediumSlateBlue}\left(x+y-z-v\right)
\color{666666}\cdot
\left|
\begin{array}{cc}
x-y&z-v\\
z-v&x-y
\end{array}
\right|El cálculo del determinante de orden dos es inmediato, de suerte que obtenemos
\Delta_3=
\color{MediumVioletRed}\left(x+y+z+v\right)
\color{MediumSlateBlue}\left(x+y-z-v\right)
\color{Green}\left[\left(x-y\right)^2-\left(z-v\right)^2\right]Finalmente, siendo los términos entre corchetes una diferencia de cuadrados, podemos escribir
\begin{equation}
\Delta=
\color{MediumVioletRed}\left(x+y+z+v\right)
\color{MediumSlateBlue}\left(x+y-z-v\right)
\color{Green}\left(x-y-z+v\right)
\color{Goldenrod}\left(x-y+z-v\right)
\end{equation}Llegado este punto no hace falta desarrollar el producto, pero el lector deseoso de seguir adelante puede hacerlo. El resultado es:
v^4 - 2v^2x^2 - 2v^2y^2 - 2v^2z^2 + 8vxyz + x^4 - 2x^2y^2 - 2x^2z^2 + y^4 - 2y^2z^2 + z^4
Podemos asumir que el banco aceptaba como correctos tanto el desarrollo completo como su factorización.
Por supuesto, a la hora de ser revelados los valores secretos de los caracteres, usar esta última expresión para el cálculo de la suma del desfalco es del todo impráctico. En cambio, el uso de \left(3\right) vuelve esto en una tarea de un santiamén.
¿A cuánto asciende la suma si x=6!,\, y=5!,\,z=4!\, y v=3!? El resultado es bastante realista, pues las pérdidas por el FOBAPROA son mayores que esta cantidad.
