Una vez más, en aras de incentivar el uso de nuestras mentes en lugar del de las calculadoras para la resolución de operaciones sencillas, proponemos a nuestros lectores ordenar 3 números. ¿Qué de complicado podría tener?
PROBLEMA
\color{MediumSlateBlue}\large\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{l}\texttt{Dificultad: 1 / 5.}\\ \texttt{Tema(s): aritmética, álgebra.}\end{array}Se pide disponer en orden creciente a las cantidades
\begin{array}{ccccc}
a=\sqrt{\,3\,}&&b=\sqrt[3\,]{\,5\,}&&c=\sqrt[4\,]{\,7\,}
\end{array}¡Ponte a prueba e inténtalo!
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SOLUCIÓN
Escribir los radicales como exponentes fraccionarios puede darnos luz sobre el camino a seguir. Así,
\def\arraystretch{1.85}
\begin{array}{rcl}
a&=&3^{1/2}\\
b&=&5^{1/3}\\
c&=&7^{1/4}\\
\end{array}La comparación se tornaría trivial si de algún modo consiguiéramos expresar a los tres números como potencias enteras.
Con este propósito elevaremos las cantidades al valor del mínimo común múltiplo de los denominadores de sus exponentes.
Luego, siendo
\mathrm{m.c.m}\left(2,3,4\right)=12tenemos que
\def\arraystretch{1.85}
\begin{array}{rclclcl}
a^{12}&=&3^{12/2}&=&3^6&=&729\\
b^{12}&=&5^{12/3}&=&5^4&=&625\\
c^{12}&=&7^{12/4}&=&7^3&=&343\\
\end{array}De este modo, concluimos que
c^{12} < b^{12} < a^{12}y, consecuentemente, que
\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}c < b < a\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}Bibliografía consultada:
Linker, D. & Sultan, A. (2016). Mathematics Problem-Solving Challenges for Secondary School Students and Beyond. New Jersey, EE.UU.AA: World Scientific Publishing.
