Logaritmos por siempre

¡Henos aquí, de vuelta y con un buen problemilla! ¡No podía ser de otra forma!

Se trata nuevamente de una ecuación que involucra logaritmos. Pese a su aspecto intimidante, su resolución no es nada compleja.

ACERTIJO

Durante un debate por la candidatura presidencial, uno de los contendientes consiguió ahorrar \;y\; minutos (de los que más adelante podría disponer libremente), según la ecuación

\left(\log_3{x}\right)\left(\log_x{2x}\right)\left(\log_{2x}y\right)=\log_x{x^2}

¿De cuántos minutos se trata?

¡Ponte a prueba e inténtalo!

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SOLUCIÓN

De inmediato se advierte que

\begin{equation}
    \log_x{x^2}=2
\end{equation}

de modo que podemos escribir

\left(\log_3{x}\right)\left(\log_x{2x}\right)\left(\log_{2x}y\right)=2

Ahora bien, puesto que todos los logaritmos del miembro izquierdo tienen bases distintas, pareciera conveniente expresarlos en términos de una sola base. Elegiremos en este caso la base 3. Luego

\begin{equation}
 \log_x{2x}=\displaystyle\frac{\log_3{2x}}{\log_3{x}}
\end{equation}

y

\begin{equation}
 \log_{2x}{y}=\displaystyle\frac{\log_3{y}}{\log_3{2x}}
\end{equation}

En consecuencia, la ecuación original queda como sigue

\displaystyle \log_3{x}\cdot\frac{\log_3{2x}}{\log_3{x}}\cdot\frac{\log_3{y}}{\log_3{2x}}=2

y, una vez simplificada, da

\begin{equation}
    \log_3{y}=2
\end{equation}

o, equivalentemente

y = 3^2

Por lo tanto, hemos hallado que

\begin{equation}
    \colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}y=9\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}
\end{equation}

Es decir, que al contendiente le ha sobrado casi una decena de minutos.

Bibliografía consultada:

Linker, D. & Sultan, A. (2016). Mathematics Problem-Solving Challenges for Secondary School Students and Beyond. New Jersey, EE.UU.AA: World Scientific Publishing.