Acertadamente lo dijo Gandhi: «Más vale ser vencido proclamando la verdad que triunfar por la mentira».
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ACERTIJO
Dificultad: 4 / 5
Temas: Sumas, funciones de parte entera, funciones exponenciales
Dos hombrecillos, ya de largo conocidos por sus infundios, el país entero recorrían pregonando un apocalipsis de despidos masivos.
En cierta ocasión, alarmaron a los trabajadores de un instituto anunciándoles (falsamente) que de entre ellos, serían cesados un total de
\begin{equation}
\displaystyle \Bigg\lfloor \sum_{n=1}^{2023}f\left(\frac{n}{2024}\right)\Bigg\rfloor-\Bigg\lceil\sum_{n=1}^{19}f\left(\frac{n}{20}\right)\Bigg\rceil
\end{equation}con
\begin{equation}
f\left(x\right)=\displaystyle\frac{9^x}{9^x+3}
\end{equation}y siendo aquí \lfloor \,\cdot\, \rfloor, la función piso entero y \lceil \,\cdot\, \rceil, la función techo entero.
¿A cuánto ascienden los despidos vaticinados por los falsarios?
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SOLUCIÓN
Antes de abstraernos en el desarrollo de las sumas resultará instructivo recordar algunos pormenores sobre las funciones de parte entera. El lector bien familiarizado con ellos puede omitirlos sin problema.
Funciones de parte entera
Las funciones de parte entera son aplicaciones que reciben por argumento un número real y devuelven como resultado un entero próximo, sea por exceso, sea por defecto. En notación matemática
\begin{equation}
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c}
E\;:\;\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{Z}\\
x\longmapsto E\left(x\right)
\end{array}
\end{equation}En particular, definimos la función piso entero como
\begin{equation}
\lfloor x \rfloor = \mathrm{máx}\left\{m\in\mathbb{Z}\;|\;m\leq x\right\}
\end{equation}o, alternativamente, como
\lfloor x \rfloor=m\iff x \in\left[m,m+1\right),\;m\in\mathbb{Z}\fcolorbox{Blue}{Lavender}{\(\small\bold{Ejemplo\;1.1}\)} \\ \begin{array}{ccccccccc}&&&&&&&&\\ &&\lfloor 9,6 \rfloor = 9 &&\lfloor 24,2 \rfloor = 24 &&\lfloor 1,7 \rfloor = 1 &&\lfloor 101,36 \rfloor = 101 \\ &&&&&&&&\end{array}
Similarmente, definimos la función techo entero como
\begin{equation}
\lceil x \rceil = \mathrm{mín}\left\{n\in\mathbb{Z}\;|\;n\geq x\right\}
\end{equation}o, lo que es lo mismo
\lceil x \rceil = n \iff x\in\left(n-1,n\right],\;n\in\mathbb{Z}\fcolorbox{Blue}{Lavender}{\(\small\bold{Ejemplo\;1.2}\)} \\ \begin{array}{ccccccccc}&&&&&&&&\\ &&\lceil 9,6 \rceil = 10 &&\lceil 24,2 \rceil = 25 &&\lceil 1,7 \rceil = 2 &&\lceil 101,36 \rceil = 102 \\ &&&&&&&&\end{array}
Las sumas
Por lo que a las sumas del enunciado respecta, ambas parecen ser de la forma
\displaystyle\sum_{n=1}^{m}f\left(\frac{n}{m+1}\right)Tal y como hemos hecho en otros acertijos, conviene que busquemos algún patrón en sumas similares y que, de existir, nos facilite la resolución del problema original. Con esto en mente, desarrollaremos algunas sumas cuyo límite superior sea pequeño comparado con los límites de las sumas del enunciado.
Así, por ejemplo, si m=2
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\sum_{n=1}^{2}f\left(\frac{n}{3}\right)&=&\displaystyle f\left(\frac13\right)+f\left(\frac23\right)
\\
&=&\displaystyle\frac{9^{1/3}}{9^{1/3}+3}+\frac{9^{2/3}}{9^{2/3}+3}\\
&=&1
\end{array}Si m=3
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\sum_{n=1}^{3}f\left(\frac{n}{4}\right)&=&\displaystyle f\left(\frac14\right)+f\left(\frac24\right)+f\left(\frac34\right)
\\
&=&\displaystyle\frac{9^{1/4}}{9^{1/4}+3}+\frac{9^{2/4}}{9^{2/4}+3}+\frac{9^{3/4}}{9^{3/4}+3}\\
&=&\displaystyle\frac32
\end{array}Si m=4
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\sum_{n=1}^{4}f\left(\frac{n}{5}\right)&=&\displaystyle f\left(\frac15\right)+f\left(\frac25\right)+f\left(\frac35\right)+f\left(\frac45\right)
\\
&=&\displaystyle\frac{9^{1/5}}{9^{1/5}+3}+\frac{9^{2/5}}{9^{2/5}+3}+\frac{9^{3/5}}{9^{3/5}+3}+\frac{9^{4/5}}{9^{4/5}+3}\\
&=&2
\end{array}Si m=5
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\sum_{n=1}^{5}f\left(\frac{n}{6}\right)&=&\displaystyle f\left(\frac16\right)+f\left(\frac26\right)+f\left(\frac36\right)+f\left(\frac46\right)+f\left(\frac56\right)
\\
&=&\displaystyle\frac{9^{1/6}}{9^{1/6}+3}+\frac{9^{2/6}}{9^{2/6}+3}+\frac{9^{3/6}}{9^{3/6}+3}+\frac{9^{4/6}}{9^{4/6}+3}+\frac{9^{5/6}}{9^{5/6}+3}\\
&=&\displaystyle\frac52
\end{array}Pareciera que, en general
\begin{equation}
\displaystyle\sum_{n=1}^{m}f\left(\frac{n}{m+1}\right)=\displaystyle\frac m2
\end{equation}aunque debemos probarlo.
En ocasiones no es muy claro cómo es que debemos sumar, así que presentaremos un útil artificio que aclarará lo que haremos en breve.
Supongamos que deseamos conocer el valor de la suma de los primeros cien enteros positivos; es decir,
S=1+2+3+\cdots +98+99+100
Claramente, esta expresión es equivalente a
S=100+99+98+\cdots+3+2+1
Si disponemos ambas expresiones de forma vertical para sumarlas, obtenemos
\small
\def \arraystretch{1.8}
\begin{array}{l}
\begin{array}{rcrrrrrrrrrrrrr}
\phantom{2}S&=&1&+&2&+&3&+&\cdots&+&98&+&99&+&100\\
\phantom{2}S&=&100&+&\phantom{0}99&+&\phantom{0}98&+&\cdots&+&\phantom{00}3&+&\phantom{00}2&+&\phantom{00}1\phantom{0}
\end{array}
\\ \hline
\begin{array}{rcrrrrrrrrrrrrr}
2S&=&101&+&101&+&101&+&\cdots&+&101&+&101&+&101\\
\end{array} \\
\end{array}de donde, resolviendo para S, queda
S=\displaystyle\frac12\,\color{LightGray}\underbrace{\color{666666}\left(101+101+\cdots+101\right)\vphantom{\big|}}_{\text{100 veces}\vphantom{\big|}}Ahora bien, en el entendido de que
\small
\def \arraystretch{3.2}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \sum_{n=1}^mf\left(\frac{n}{m+1}\right)&=&\displaystyle f\left(\frac{1}{m+1}\right)+f\left(\frac{2}{m+1}\right)+f\left(\frac{3}{m+1}\right)+\cdots+\\
&&+\;\displaystyle f\left(\frac{m-2}{m+1}\right)+f\left(\frac{m-1}{m+1}\right)+f\left(\frac{m}{m+1}\right)
\end{array}resulta obvio que podemos escribir
\small
\def \arraystretch{3.2}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \sum_{n=1}^mf\left(\frac{n}{m+1}\right)&=&\displaystyle f\left(\frac{m}{m+1}\right)+f\left(\frac{m-1}{m+1}\right)+f\left(\frac{m-2}{m+1}\right)+\cdots+\\
&&+\;\displaystyle f\left(\frac{3}{m+1}\right)+f\left(\frac{2}{m+1}\right)+f\left(\frac{1}{m+1}\right)
\end{array}pero
\def\arraystretch{2.9}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac{m}{m+1}&=&1-\displaystyle\frac{1}{m+1}\\
\displaystyle \frac{m-1}{m+1}&=&1-\displaystyle\frac{2}{m+1}\\
\displaystyle \frac{m-2}{m+1}&=&1-\displaystyle\frac{3}{m+1}\\
&\vdots&
\end{array}de modo que al sumar como en el ejemplo anterior, hallamos
\scriptsize
\def \arraystretch{2.7}
\begin{array}{l}
\begin{array}{rcrrrrrrrrr}
\phantom{2}\sum_{m,n}&=&\color{IndianRed}\displaystyle f\left(\frac{1}{m+1}\right)&+&\color{MediumSlateBlue}\displaystyle f\left(\frac{2}{m+1}\right)&+&\cdots&+&\displaystyle f\left(1-\frac{2}{m+1}\right)&+&\displaystyle f\left(1-\frac{1}{m+1}\right)\\
\phantom{2}\sum_{m,n}&=&\color{IndianRed}\displaystyle f\left(1-\frac{1}{m+1}\right)&+&\color{MediumSlateBlue}\displaystyle f\left(1-\frac{2}{m+1}\right)&+&\cdots&+&\displaystyle f\left(\frac{2}{m+1}\right)&+&\displaystyle f\left(\frac{1}{m+1}\right)\vphantom{\Huge|_{\bigg|}}
\end{array}
\\ \hline
\begin{array}{rcl}
2\sum_{m,n}&=&\color{IndianRed}\displaystyle f\left(\frac{1}{m+1}\right)\;+\;\displaystyle f\left(1-\frac{1}{m+1}\right)\color{666666}\;+\;\color{MediumSlateBlue}f\left(\frac{2}{m+1}\right)\;+\;\displaystyle f\left(1-\frac{2}{m+1}\right)\color{666666}\;+\;\cdots\\
\end{array} \\
\end{array}Más aún, cada par de sumandos contiguos de la forma
\begin{equation}
f\left(\lambda\right)+f\left(1-\lambda\right),\;\lambda\in\mathbb{Q}
\end{equation}(como los resaltados en rojo y azul en los desarrollos previos) vale, en virtud de \left(2\right)
\def\arraystretch{3.2}
\begin{array}{rcl}
f\left(\lambda\right)+f\left(1-\lambda\right)&=&\displaystyle\frac{9^\lambda}{9^\lambda+3}+\frac{9^{1-\lambda}}{9^{1-\lambda}+3}\\
&=&\displaystyle\frac {9^\lambda\left(9^{1-\lambda}+3\right)+9^{1-\lambda}\left(9^\lambda+3\right)}{\left(9^\lambda+3\right)\left(9^{1-\lambda}+3\right)}\\
&=&\displaystyle\frac{9+3\cdot9^{1-\lambda}+3\cdot9^{\lambda}+9}{9+3\cdot9^{1-\lambda}+3\cdot9^{\lambda}+9}\\
&=&1
\end{array}En consecuencia, la suma debe valer
\sum_{n=1}^{m}f\left(\frac{n}{m+1}\right)=\displaystyle\frac12\,\color{LightGray}\underbrace{\color{666666}\left(1+1+\cdots+1\right)\vphantom{\big|}}_{\text{m veces}\vphantom{\big|}}\color{666666}=\frac m2tal y como habíamos conjeturado.
En virtud de esto
\begin{equation}
\def \arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \Bigg\lfloor \sum_{n=1}^{2023}f\left(\frac{n}{2024}\right)\Bigg\rfloor-\Bigg\lceil\sum_{n=1}^{19}f\left(\frac{n}{20}\right)\Bigg\rceil &=&\displaystyle \bigg\lfloor \frac {2023}{2} \bigg\rfloor - \bigg\lceil \frac {19}{2} \bigg\rceil \\
&=&1011-10\\
&=&1001
\end{array}
\end{equation}Es decir, un total de 1 001 trabajadores.
Bibliografía consultada:
Liu, A. (1998). Chinese Mathematics Competitions and Olympiads 1981-1993. Canberra, Australia: The Australian Mathematics Trust.
Martínez, José., Cuadra, R. et al. (2007). Matemáticas 1.º Bachillerato. Madrid, España: McGrawHill Interamericana de España.
