¡No pierdas el juicio! No hay batalla, por cruenta que sea, que una mente bien ejercitada no pueda sobrellevar. Aventúrate pues con nosotros en la resolución de este nada complejo enigma.
ACERTIJO
Dificultad: 3,5 / 5.
Temas: Álgebra, Álgebra lineal, Geometría (cónicas).
Habiéndosele encontrado culpable, un funcionario juzgado en el extranjero fue encaminado hacia la celda en la que pasaría largos años.
Al igual que el resto de la prisión, el suelo de ésta estaba cubierto por baldosas que contenían tres diseños geométricos dados por las expresiones siguientes:
\begin{equation}
M = \displaystyle\left\{\left(x,y\right)| \;\lvert x \rvert + \lvert y\rvert \leq 1\vphantom{\big|}\right\}
\end{equation}\begin{equation}
\small
N = \displaystyle\left\{\left(x,y\right) \Bigg| \;\sqrt{\left(x-\frac12\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2} + \sqrt{\left(x+\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2} \leq 2\sqrt{2}\;\right\}
\end{equation}\begin{equation}
P = \displaystyle\left\{\left(x,y\right)| \;\lvert x \rvert + \lvert y\rvert > 1,\,\lvert x+y\rvert<1,\,\lvert x \rvert \leq 1, \lvert y \rvert \leq 1 \vphantom{\big|}\right\}
\end{equation}¿De qué figuras se trata? ¿Cómo lucían? ¿Cuánto valen sus áreas?
¡Ponte a prueba e inténtalo!
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SOLUCIÓN
En un intento por visualizar los recintos representados por los conjuntos \,M\, y \,P\, será menester recordar la definición de la función valor absoluto
\def \arraystretch{1.8}
\begin{array}{c}
\lvert \,\cdot \, \rvert :\mathbb{R} \longrightarrow \left[0,+\infty\right)\\
x\longmapsto \lvert x \rvert
\end{array}con
\lvert x \rvert =
\left\{
\def\arraystretch{1.3}
\begin{array}{rcl}
-x&\text{si}&x<0\\
\phantom{-}x&\text{si} &x\geq0
\end{array}
\right.El conjunto M
Claramente, la frontera del recinto M está dada por el conjunto de puntos que satisfacen la igualdad \lvert x \rvert + \lvert y\rvert = 1. De acuerdo con la definición que hemos expuesto, ésta se compone de cuatro segmentos de recta (uno por cuadrante del plano); a saber
\partial M\equiv
\left\{
\def\arraystretch{1.4}
\begin{array}{lcll}
y=-x+1&\text{si}&\left(x\geq0\right)\land \left(y\geq 0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\text{cuadrante I}\\
y=x+1&\text{si}&\left(x<0\right)\land \left(y\geq 0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\text{cuadrante II}\\
y=-x-1&\text{si}&\left(x<0\right)\land \left(y< 0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\text{cuadrante III}\\
y=x-1&\text{si}&\left(x\geq0\right)\land \left(y< 0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\text{cuadrante IV}\\
\end{array}
\right.M es entonces un cuadrado con vértices en los puntos \left(1,0\right),\,\left(0,1\right),\,\left(-1,0\right) y \left(0,-1\right)\,, cuyos lados miden, por el teorema de Pitágoras, \sqrt{2}\; (véase la Fig. 1).
Fig. 1 – Región descrita por M
El cálculo de su área es trivial
\begin{equation}
A_M=2\;\small\color{LightGray}\left(\text{unidades cuadradas}\right)
\end{equation}El conjunto P
La inecuación \lvert x \rvert + \lvert y \rvert > 1 consta de todos los puntos que no están contenidos en M; es decir, todo el plano, exceptuando el recinto cuadrado que describimos en el apartado anterior. Luce sombreado en azul cual se muestra en la Fig. 2.
Fig. 2 – La primera de las desigualdades de P es el conjutno \mathbb{R}^2-M.
Por su parte, la segunda desigualdad, \lvert x+y \rvert < 1, equivale, en virtud de las propiedades del valor absoluto a
-1 < x + y < 1
o, más claramente, a
-x-1 < y <-x+1
que es la región que contiene a todos los puntos que se encuentran entre las rectas y=-x-1\, y \,y=-x+1. Tal luce, sombreada en color mostaza y junto a la región anteriormente descrita, así
Fig. 3 – En color mostaza, la inecuación \lvert x+y \rvert < 1
Similarmente, \lvert x \rvert \leq 1 es el recinto comprendido entre las rectas verticales \,x=-1\, y \,x=1\,, ambas inclusive.Y, de forma análoga, \lvert y \rvert \leq 1 es la región entre las rectas horizontales \,y=-1\, y \,y=1\,, ambas inclusive.
La figura siguiente ilustra, respectivamente, en verde y rojo dichas regiones.
Fig. 4 – En verde, el recinto \lvert x \rvert \leq 1. En rojo, la región \lvert y \rvert \leq 1.
En consecuencia, \,P\, ha de ser la intersección de todas ellas; esto es, dos triángulos rectángulos de base y altura 1. Ambos se ilustran enseguida
Fig. 5 – El conjunto P.
De aquí se sigue que el área de ambos suma
\begin{equation}
A_P=1\;\small\color{LightGray}\left(\text{unidad cuadrada}\right)
\end{equation}El conjunto N
A primera vista no es obvio que clase de recinto representa N. Con el propósito de descubrirlo, nos concentraremos en su frontera.
Por simplificar los cálculos pondremos \,a=1/2\, y \,r=2\sqrt{2}\,. Hecho esto, se hace patente que el contorno de la región está dado por la igualdad
\displaystyle\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y+a\right)^2} + \sqrt{\left(x+a\right)^2+\left(y-a\right)^2} =rDe aquí se desprende que
\small
\def\arraystretch{2.9}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y+a\right)^2} &=&r- \sqrt{\left(x+a\right)^2+\left(y-a\right)^2}\Rightarrow\\
\left(x-a\right)^2+\left(y+a\right)^2&=&\left(r- \sqrt{\left(x+a\right)^2+\left(y-a\right)^2}\right)^2\\
&=&r^2-2r\sqrt{\left(x+a\right)^2+\left(y-a\right)^2}+\left(x+a\right)^2+\left(y-a\right)^2\Rightarrow\\
2r\sqrt{\left(x+a\right)^2+\left(y-a\right)^2}&=&r^2+\left(x-a\right)^2-\left(x+a\right)^2+\left(y+a\right)^2-\left(y-a\right)^2\\
&=&r^2+\left(x-a-x-a\right)\left(x-a+x+a\right)+\\
&&\phantom{r^2}+\left(y+a-y+a\right)\left(y+a+y-a\right)\\
&=&r^2+\left(-2a\right)\left(2x\right)+\left(2a\right)\left(2y\right)\\
&=&r^2-4ax+4ay\Rightarrow\\
4r^2\left[\left(x+a\right)^2+\left(y-a\right)^2\right]&=&\left(r^2-4ax-4ay\right)^2
\end{array}Al desarrollar ambos miembros de esta última igualdad, queda
\begin{split}
4r^2x^2+4r^2y^2+8ar^2x-8ar^2y+8a^2r^2=\vphantom{\Big|}\\
=\;r^4+16a^2x^2+16a^2y^2-32a^2xy+8ar^2x-8ar^2y
\end{split}y tras reducir términos semejantes, hallamos
4\left(4a^2-r^2\right)x^2-32a^2xy+4\left(4a^2-r^2\right)y^2=r^2\left(8a^2-r^2\right)
o, mejor aún, dividiendo ambos lados por r^2\left(8a^2-r^2\right), resulta
\displaystyle\frac{4}{r^2}\left(\frac{4a^2-r^2}{8a^2-r^2}\right)x^2-\frac{32a^2}{r^2\left(8a^2-r^2\right)}xy+\frac{4}{r^2}\left(\frac{4a^2-r^2}{8a^2-r^2}\right)y^2=1Reemplazando \,a\, y \,r\, por su valores numéricos, obtenemos
\begin{equation}
\colorbox{lavender}{\(\phantom{xxx}\displaystyle\frac{7}{12}x^2+\frac16xy+\frac{7}{12}y^2=1\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}
\end{equation}que es la ecuación de una elipse. La presencia del término cruzado atestigua que se trata de una cónica rotada.
Para calcular su área podríamos abordar el problema con ayuda del álgebra lineal. Un cambio en el sistema de referencia nos permitiría eliminar el término cruzado y conocer las longitudes de los semiejes, que serán indispensables para nuestro ulterior propósito.
Comenzaremos entonces escribiendo a \left(6\right) en forma matricial; i. e.,
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cc}
x&y
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
7/12&1/12\\
1/12&7/12
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)
=1
\end{equation}y hallaremos una base ortonormal de vectores propios de la matriz \left( \begin{array}{cc} 7/12&1/12\\ 1/12&7/12 \end{array} \right), digamos \left\{\vec{v}_1,\,\vec{v}_2\right\}, para reducir la forma cuadrática
\begin{equation}
\color{LightGray}\underbrace{
\color{666666}
\left(
\begin{array}{cc}
x&y
\end{array}
\right)\vphantom{\Huge |}
}_{\color{666666}X^{t}\vphantom{\Big|}}
\phantom{.}
\underbrace{
\color{666666}\left(
\begin{array}{cc}
7/12&1/12\\
1/12&7/12
\end{array}
\right)
}_{\color{666666}A\vphantom{\big|}}
\phantom{.}
\underbrace{
\color{666666}\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)
}_{\color{666666}X\vphantom{\Big|}}
\end{equation}cambiando el sistema de referencia de la base canónica de \mathbb{R}^2, al sistema de referencia \left(O,\,\left\{\vec{v}_1,\,\vec{v}_2\right\}\right).
Luego, si las coordenadas de un punto cualquiera en el primer sistema de referencia son \left(x,y\right) y en el segundo, \left(x',y'\right), habrá de verificarse que
\begin{equation}
\color{LightGray}
\underbrace{
\color{666666}\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)
}_{\color{666666}X\vphantom{\Big|}}
\phantom{.}
=
\underbrace{
\color{666666}\left(
\begin{array}{cc}
\vec{v}_1&\vec{v}_2
\end{array}
\right)\vphantom{\Huge |}
}_{\color{666666}P\vphantom{\Big|}}
\phantom{.}
\underbrace{
\color{666666}\left(
\begin{array}{c}
x'\\
y'
\end{array}
\right)
}_{\color{666666}X^{'}\vphantom{\Big|}}
\phantom{.}
\end{equation}O bien, transponiendo ambos miembros,
\begin{equation}
X^t=X^{'t}P^{\;t}
\end{equation}Así, al introducir \left(9\right) y \left(10\right) en \left(7\right), resulta la ecuación
X^{'t}\color{IndianRed}P^{\;t}AP\color{666666}X^{'}=1pero es bien conocido que \color{IndianRed}P^{\;t}AP ¡es una matriz diagonal cuyos elementos son los autovalores de A!
Con esto en mente, nos bastará hallar la matriz
D=\color{IndianRed}P^{\;t}AP\color{666666}=\left(
\begin{array}{cc}
\lambda_1&0\\
0&\lambda_2
\end{array}
\right)donde \lambda_1 y \lambda_2 son, respectivamente, los valores propios de \vec{v}_1 y \vec{v}_2, para obtener una nueva ecuación
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cc}
x'&y'
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
\lambda_1&0\\
0&\lambda_2
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x'\\
y'
\end{array}
\right)
=1
\end{equation}que, claro está, NO contiene más al término cruzado.
Para hallar los valores propios, habremos de determinar los ceros del polinomio característico de A; esto es, las raíces de la ecuación
p_A\left(\lambda\right)=\mathrm{det}\left(A-\lambda I_2\right)siendo I_2 la matriz identidad de orden 2.
Para el caso que nos ocupa
\def\arraystretch{3.5}
\begin{array}{rcl}
p_A\left(\lambda\right)&=&\left|
\def\arraystretch{2.3}
\begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{7}{12}-\lambda&\displaystyle\frac{1}{12}\\
\displaystyle\frac{1}{12}&\displaystyle\frac{7}{12}-\lambda
\end{array}
\right|\\
&=&\displaystyle\left(\frac{7}{12}-\lambda\right)^2-\left(\frac{1}{12}\right)^2\\
&=&\displaystyle\left(\frac{7}{12}-\frac{1}{12}-\lambda\right)\left(\frac{7}{12}+\frac{1}{12}-\lambda\right)\\
&=&\displaystyle\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\lambda\right)\displaystyle\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\lambda\right)
\end{array}\\de modo que
\def\arraystretch{1.7}
\left.
\begin{array}{rcl}
\lambda_1&=&\frac12\\
\lambda_2&=&\frac13
\end{array}
\color{LightGray}
\right\}Finalmente, la ecuación en el nuevo sistema de referencia es
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cc}
x'&y'
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1/2&0\\
0&1/3
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x'\\
y'
\end{array}
\right)
=1
\end{equation}o, lo que es lo mismo
\begin{equation}
\displaystyle\frac{1}{2}\left(x'\right)^2+\frac{1}{3}\left(y'\right)^2=1
\end{equation}Tras una última manipulación podemos escribir
\begin{equation}
\colorbox{lavender}{\(\phantom{xxx}\displaystyle\left(\frac{\,x'\,}{\sqrt{2\,}}\right)^2+\left(\frac{\,y'\,}{\sqrt{3\,}}\right)^2=1\phantom{xxx}\vphantom{\Huge|^3_{\Big|_{\big|}}}\)}
\end{equation}donde claramente, aparecen las longitudes de los semiejes: \sqrt{2} y \sqrt{3}.
Consecuentemente, el área de la elipse será
\begin{equation}
A_N=\pi\sqrt{2}\sqrt{3}=\pi\sqrt{6}\;\small \color{LightGray}\left(\text{unidades cuadradas}\right)
\end{equation}Nada nos dice el problema acerca de las dimensiones de cada baldosa, pero asumiendo que cada una contenía los tres patrones (sin repetición), probablemente luciría así:
Fig. 6 – Posible apariencia de una de las baldosas.
Bibliografía consultada:
Liu, A. (1998). Chinese Mathematics Competitions and Olympiads 1981-1993. Canberra, Australia: The Australian Mathematics Trust.
García J., López, M. (1977). Álgebra lineal y geometría. Alcoy, España: Editorial Marfil.
