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Desmoche de congresistas en plétora

Es bien sabido que la cantidad de legisladores que componen las cámaras de representación popular en nuestro país obedece a unas sencillas reglas para su determinación.

Conscientes de que la discusión pública vive álgidos momentos al avecinarse una posible transformación del aparato democrático de la nación, presentamos ante nuestros lectores un divertimento relacionado con ello.

¡Ansiamos leer sus comentarios y propuestas de resolución!

ACERTIJO

En vísperas de las cavilaciones tocantes a la reforma electoral, un grupo de ciudadanos ha propuesto que el número máximo de diputados sea el menor de entre los números que satisfacen que al ser divididos por 2, den un resto de 1; al ser divididos por 3, den un resto de 2; por 4, un resto de 3; por 5, un resto de 4; por 6, un resto de 5, mientras que por 7 se dividen sin resto.

¿De qué número se trata?

SOLUCIÓN

Según el enunciado, el número buscado debe ser múltiplo entero de 7, pero no de 2, 3 ni 5; o sea, que ha de ser el producto de 7 por uno o más números primos mayores o iguales que él (i.e., 7, 11, 13, 17, 19, …).

Probemos, por ejemplo, el producto

7\cdot7=49

cuyos diagramas de división y restos mostramos a continuación

\begin{array}{rlcrlcrlc}
          &\,\,\,24 & & &\,\,\,16 & & &\,\,\,12\\
          \color{royalblue}2 &\begin{array}{|l} \hline 49 \vphantom{\Big|}\end{array} 
          & & \color{royalblue}3 & \begin{array}{|l} \hline 49 \vphantom{\Big|}\end{array} 
          & & \color{royalblue}4 & \begin{array}{|l} \hline 49 \vphantom{\Big|}\end{array} \\
          &\,\,\,09 & & &\,\,\,19 & & &\,\,\,09\\
          &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}\color{DarkOrchid}1\)}
          & & &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}1\)}
          & & &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}1\)} \\
          \\
          &\,\,\,\phantom{0}9 & & &\,\,\,\phantom{0}8 & & & \\
          \color{royalblue}5 &\begin{array}{|l} \hline 49 \vphantom{\Big|}\end{array}
          & & \color{royalblue}6 & \begin{array}{|l} \hline 49 \vphantom{\Big|}\end{array}
          & & \\
          &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}\color{DarkOrchid}4\)}
          & & &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}1\)}
          & & &
\end{array}

Según se advierte, solo los restos de las divisiones por 2 y por 5 satisfacen los planteamientos del enunciado, así que podemos descartar este número.

Probemos ahora con el producto

7\cdot11=77

Como en el caso anterior, al efectuar las divisiones de nuestro interés, hallamos

\begin{array}{rlcrlcrlc}
          &\,\,\,38 & & &\,\,\,25 & & &\,\,\,19\\
          \color{royalblue}2 &\begin{array}{|l} \hline 77 \vphantom{\Big|}\end{array} 
          & & \color{royalblue}3 & \begin{array}{|l} \hline 77 \vphantom{\Big|}\end{array} 
          & & \color{royalblue}4 & \begin{array}{|l} \hline 77 \vphantom{\Big|}\end{array} \\
          &\,\,\,17 & & &\,\,\,17 & & &\,\,\,37\\
          &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}\color{DarkOrchid}1\)}
          & & &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}\color{DarkOrchid}2\)}
          & & &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}1\)} \\
          \\
          &\,\,\,15 & & &\,\,\,12 & & & \\
          \color{royalblue}5 &\begin{array}{|l} \hline 77 \vphantom{\Big|}\end{array}
          & & \color{royalblue}6 & \begin{array}{|l} \hline 77 \vphantom{\Big|}\end{array}
          & & \\
          &\,\,\,27 & & &\,\,\,17 & & &\\
          &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}2\)}
          & & &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}\color{DarkOrchid}5\)}
          & & &
\end{array}

En este caso, los restos de las divisiones por 2, 3 y 5 verifican las demandas del problema, pero no así los de las divisiones restantes. Luego, este tampoco es nuestro número.

Prosiguiendo con nuestro razonamiento, veremos si

7\cdot13=91

cumple con lo demandado.

He aquí los cocientes y restos

\begin{array}{rlcrlcrlc}
          &\,\,\,45 & & &\,\,\,30 & & &\,\,\,22\\
          \color{royalblue}2 &\begin{array}{|l} \hline 91 \vphantom{\Big|}\end{array} 
          & & \color{royalblue}3 & \begin{array}{|l} \hline 91 \vphantom{\Big|}\end{array} 
          & & \color{royalblue}4 & \begin{array}{|l} \hline 91 \vphantom{\Big|}\end{array} \\
          &\,\,\,11 & & &\,\,\,01 & & &\,\,\,11\\
          &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}1\)}
          & & &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}1\)}
          & & &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}\color{DarkOrchid}3\)} \\
          \\
          &\,\,\,18 & & &\,\,\,15 & & & \\
          \color{royalblue}5 &\begin{array}{|l} \hline 91 \vphantom{\Big|}\end{array}
          & & \color{royalblue}6 & \begin{array}{|l} \hline 91 \vphantom{\Big|}\end{array}
          & & \\
          &\,\,\,41 & & &\,\,\,31 & & &\\
          &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}1\)}
          & & &\,\,\,\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}1\)}
          & & &
\end{array}

Por ser la división por 3 la única que proporciona el resto buscado, pareciera que el número nos continúa siendo esquivo.

En un nuevo intento, estudiemos el número

7\cdot17=119

Sus cocientes y restos se proporcionan enseguida

\begin{array}{rlcrlcrlc}
          &\,\,\,\phantom{0}59 & & &\,\,\,\phantom{0}39 & & &\,\,\,\phantom{0}29\\
          \color{royalblue}2 &\begin{array}{|l} \hline 119 \vphantom{\Big|}\end{array} 
          & & \color{royalblue}3 & \begin{array}{|l} \hline 119 \vphantom{\Big|}\end{array} 
          & & \color{royalblue}4 & \begin{array}{|l} \hline 119 \vphantom{\Big|}\end{array} \\
          &\,\,\,\phantom{0}19 
          & & &\,\,\,\phantom{0}29 
          & & &\,\,\,\phantom{0}39\\
          &\,\,\,\phantom{0}\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}\color{DarkOrchid}1\)}
          & & &\,\,\,\phantom{0}\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}\color{DarkOrchid}2\)}
          & & &\,\,\,\phantom{0}\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}\color{DarkOrchid}3\)} \\
          \\
          &\,\,\,\phantom{0}23 & & &\,\,\,\phantom{0}19 & & & \\
          \color{royalblue}5 &\begin{array}{|l} \hline 119 \vphantom{\Big|}\end{array}
          & & \color{royalblue}6 & \begin{array}{|l} \hline 119 \vphantom{\Big|}\end{array}
          & & \\
          &\,\,\,\phantom{0}19 & & &\,\,\,\phantom{0}59 & & &\\
          &\,\,\,\phantom{0}\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}\color{DarkOrchid}4\)}
          & & &\,\,\,\phantom{0}\colorbox{lavender}{\(\phantom{.}\color{DarkOrchid}5\)}
          & & &
\end{array}

Para ventura nuestra, este número cumple con todos los requerimientos y es, claramente, el menor de entre todas las cantidades que los satisfacen (pues, las restantes se construyen con productos entre 7 y números mayores que 17).

Así pues, el número de diputados propuesto por este grupo de entusiastas de la democracia es 119.

Y…¿cuáles son los otros números?

Aunque pudiéramos darnos a la tarea de hallar manualmente otras tantas cantidades que verifiquen los requisitos mediante el procedimiento que hemos expuesto, resultaría sumamente engorroso.

No obstante, podemos echar mano de las bondades que proporciona la tecnología y usar una computadora para encontrar unas cuantas más.

Los lectores familiarizados con la programación hallarán esta faena sencilla, aunque es posible también usar Microsoft Excel con este propósito. Así, por ejemplo, dispuestos en orden creciente, los nueve siguientes números mayores que 119 y que igualmente satisfacen las restricciones impuestas son:

\begin{array}{rclcl}
          539 &=&7\cdot \color{royalblue}77&=&7\cdot\color{green}7\cdot11\vphantom{\Big|}\\
          959 &=&7\cdot \color{green}137&&\vphantom{\Big|}\\
          1\,379 &=&7\cdot \color{green}197&&\vphantom{\Big|}\\
          1\,799 &=&7\cdot \color{green}257&&\vphantom{\Big|}\\
          2\,219 &=&7\cdot \color{green}317&&\vphantom{\Big|}\\
          2\,639 &=&7\cdot \color{royalblue}377&=&7\cdot\color{green}13\cdot29\vphantom{\Big|}\\
          3\,059 &=&7\cdot \color{royalblue}437&=&7\cdot\color{green}19\cdot23\vphantom{\Big|}\\
          3\,479 &=&7\cdot \color{royalblue}497&=&7\cdot\color{green}7\cdot71\vphantom{\Big|}\\
          3\,899 &=&7\cdot \color{green}557&&\vphantom{\Big|}\\

\end{array}

Tal y como habíamos adelantado, todos son producto de 7 por uno o más factores primos (resaltados aquí en verde).

Ofrecemos al lector interesado un archivo .xlsx con el algoritmo por el que fueron hallados estos números y otros cuantos más. Por supuesto, como es usual en las hojas de cálculo, las fórmulas pueden extenderse a un mayor número de celdas arrastrando el controlador de relleno.

A primera vista, no parece haber una relación sencilla que describa la secuencia de números obtenida, pero si añadimos a todos una unidad, obtenemos la sucesión

\begin{gather}
\left\{a_n\right\}=120,\,540,\,960,\,1\,380,\,1\,800,\ldots
\end{gather}

formada por números ¡divisibles por 2, 3, 4, 5 y 6!

Esto implica que todos han de ser múltiplos de de 60, pues

\begin{gather}
             \textrm{m.c.m.}\left(2,\,3,\,4,\,5,\,6\right)=60
\end{gather}

En efecto, podemos escribir

\begin{array}{rcl}
          120 & = & 60 \cdot 2\vphantom{\Big|}\\
          540 & = & 60 \cdot 9\vphantom{\Big|}\\
          960 & = & 60 \cdot 16\vphantom{\Big|}\\
          1\,380 & = & 60 \cdot 23\vphantom{\Big|}\\
          1\,800 & = & 60 \cdot 30\vphantom{\Big|}\\
          &\vdots&
\end{array}

Vislumbramos así la forma general de estos números, pues todos son múltiplos de los elementos de la sucesión

\begin{gather}
\begin{array}{rcl}
          \left\{b_n\vphantom{\big|}\right\}&=&2,\,9,\,16,\,23,\,30,\,\ldots\vphantom{\Big|}\\
          &=&2,\,2+7,\,\color{royalblue}9\color{black}+7,\,\color{fuchsia}16\color{black}+7,\color{tomato}23\color{black}+7,\,\ldots\vphantom{\Big|}\\
          &=&2,\,2+7,\,\color{royalblue}2+7\color{black}+7,\,\color{fuchsia}2+7+7\color{black}+7,\vphantom{\Big|}\\
          &&\color{tomato}2+7+7+7\color{black}+7,\,\ldots\vphantom{\Big|}\\
          &=&2+7\cdot0,\,2+7\cdot1,\,2+7\cdot2,\,2+7\cdot3,\vphantom{\Big|}\\
          &&2+7\cdot4,\,\ldots\vphantom{\Big|}\\
\end{array}
\end{gather}

cuyo término general, como es fácilmente comprobable, es

\begin{gather}
          b_n=2+7n,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n=0,\,1,\,2,\,\ldots
\end{gather}

De aquí se desprende de inmediato que

\begin{gather}
          \begin{array}{rclr}
                    a_n&=&60\,b_n\vphantom{\Big|}&\\
                    &=&60\left(2+7n\right)\vphantom{\Big|}&\\
                    &=&120+420n,\vphantom{\Big|}&\,\,\,n=0,\,1,\,2,\,\ldots\\
          \end{array}
\end{gather}

y, consecuentemente, que el n-ésimo de los números buscados vendrá dado por la expresión

          \begin{array}{rclr}
                    c_n&=&a_n-1,\vphantom{\Big|}&\,\,\,n=0,\,1,\,2,\,\ldots\\
          \end{array}

esto es,

\begin{equation}
          \colorbox{lavender}{\(c_n=119+420n,\,\,\,n=0,\,1,\,2,\,\ldots\vphantom{\Big|}\)}
\end{equation}

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