Ante la guerra de exhibiciones y acusaciones en la que en estos postreros días se han enzarzado algunas conocidas figuras de la política nacional y que pareciera augurar tiempos convulsos, aunque de ninguna manera raros en el vaivén democrático de una nación que lucha por su transformación, merece la pena acallar nuestras angustias y tranquilizar la mente con un buen desafío de matemáticas.
A tenor de lo expuesto, nuestros lectores se servirán encontrar un acertijo que requiere de conocimientos elementales de geometría. Esperamos que disfruten de él.
ACERTIJO
¡Esperamos gustosos sus comentarios, observaciones y propuestas de resolución!
SOLUCIÓN
Al abordar este tipo de problemas siempre será oportuno mirar con detenimiento los esbozos de los que disponemos.
Siendo la longitud del segmento DE nuestra incógnita, pareciera conveniente representarla por una nueva variable; digamos
\begin{equation}
x=\overline{DE\,}
\end{equation}En consecuencia, habiéndose de cumplir que \overline{DE\,}+\overline{EB\,}=100, será preciso que
\begin{equation}
\overline{EB\,}=100-x
\end{equation}Claramente, por pertenecer estos segmentos a vallados cuadrados, las medidas de los lados restantes que los conforman, tendrán, respectivamente, estos mismos valores; es decir
\begin{array}{c}
\overline{EF\,}=\overline{FG\,}=\overline{GD\,}=x\vphantom{\Bigg|}\\
\overline{EH\,}=\overline{HI\,}=\overline{IB\,}=100-x\vphantom{\Bigg|}\\
\end{array}Con esta elección, las bases y alturas de \triangle BFE \, y \, \triangle HED quedan completamente determinadas en función de x.
Más aún, tras advertir que \triangle BFE \, y \, \triangle BCD son semejantes (por tener ángulos homólogos idénticos) y que están en posición de Thales, como ocurre también con \triangle HED \, y \, \triangle ABD, podemos construir sendas relaciones de proporcionalidad entre sus lados.
A saber,
\begin{gather}
\displaystyle \frac{\overline{CD\,}}{\overline{DB\,}}=\frac{\overline{FE\,}}{\overline{EB\,}}
\end{gather}y
\begin{gather}
\displaystyle \frac{\overline{AB\,}}{\overline{BD\,}}=\frac{\overline{HE\,}}{\overline{ED\,}}
\end{gather}Ahora bien, en virtud de que para dos puntos cualesquiera del espacio euclídeo, M y N, se cumple que \overline{MN\,}=\overline{NM\,}, esto es, que la distancia entre ambos permanece invariable sin importar la orientación del segmento que les une, podemos reemplazar \left(1\right) y \left(2\right) en ambas proporciones para obtener, respectivamente, las alturas de los triángulos \triangle BCD y \triangle ABD:
\begin{gather}
\displaystyle \overline{CD\,}=100\cdot\frac{x}{100-x}
\end{gather}\begin{gather}
\displaystyle \overline{AB\,}=100\cdot\frac{100-x}{x}
\end{gather}Conocidas ambas, el área de la finca no es mas que la suma de las áreas de los dos triángulos recién referidos; i. e.,
\begin{gather}
\begin{array}{rcl}
A_{_{finca}}&=&A_{_{\triangle BCD}}+A_{_{\triangle ABD}}\vphantom{\Bigg|}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2} \,\overline{DB\,}\cdot\overline{CD\,}+\frac{1}{2}\,\overline{DB\,}\cdot\overline{AB\,}\vphantom{\Bigg|}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2} \,\overline{DB\,}\left(\overline{CD\,}+\overline{AB\,}\right)\vphantom{\Bigg|}\\
\end{array}
\end{gather}Si introducimos en esta expresión tanto los valores numéricos dados el enunciado como las expresiones algebraicas determinados por nosotros, obtenemos
\begin{array}{rcl}
12\,500
&=& \displaystyle \frac{1}{2} \cdot100 \left(100\cdot\frac{x}{100-x}+100\cdot\frac{100-x}{x}\right)\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
&=&50\cdot100 \displaystyle\left(\frac{x}{100-x}+\frac{100-x}{x}\right)\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
&=&5\,000\displaystyle\left[\frac{x^2+\left(100-x\right)^2}{x\left(100-x\right)}\right]\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
\end{array}Dividiendo ahora ambos miembros de la igualdad por 5\,000, desarrollando el cuadrado del binomio del numerador del miembro derecho y expandiendo el producto del denominador del mismo, resulta
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac{12\,500}{5\,000}&=&\displaystyle \frac{x^2+10\,000-200x +x^2}{100x-x^2\vphantom{\big|}} \Rightarrow\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
\displaystyle \frac{5}{2}&=&\displaystyle \frac{2x^2-200x +10\,000}{100x-x^2\vphantom{\big|}} \vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
\end{array}Empero, merced a la propiedad fundamental de las proporciones (i. e., la igualdad entre los productos cruzados de las fracciones que la componen), podemos escribir
\begin{array}{rcl}
5\left(100x-x^2\right)&=&2\left(2x^2-200x+10\,000\right)\Rightarrow\vphantom{\Big|}\\
500x-5x^2&=&4x^2-400x+20\,000\Rightarrow\vphantom{\Big|}\\
0&=&4x^2+5x^2-400x-500x+20\,000\Rightarrow\vphantom{\Big|}\\
0&=&9x^2-900x+20\,000\vphantom{\Big|}\\
\end{array}En este punto, el problema se ha reducido a encontrar las raíces del polinomio
\begin{equation}
\colorbox{lavender}{\(P\left( x \right)=9x^2-900x+20\,000\)}
\end{equation}Si bien pudiéramos hallarlas mediante la celebérrima fórmula cuadrática, lo haremos por factorización.
Con este propósito, multiplicaremos a P\left(x\right) por su coeficiente principal y lo dividiremos por el mismo, en el entendido de que esto equivale a multiplicarle por la unidad y, por lo tanto, a dejarle inalterado:
\begin{array}{rcl}
P\left(x\right)&=&\displaystyle\frac{1}{9}\cdot 9 \left(9x^2-900x+20\,000\right)\vphantom{\Bigg|}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{9} \left[\left(9x\right)^2-900\left(9x\right)+180\,000\right]\vphantom{\Bigg|}\\
\end{array}Si hacemos ahora el cambio de variable
\begin{equation}
y=9x
\end{equation}podemos escribir
\begin{equation}
P\left(y\right)=\displaystyle\frac{1}{9}\left(y^2-900y+180\,000\right)
\end{equation}El término encerrado entre paréntesis es un polinomio mónico y, subsecuentemente, puede expresarse como el producto de dos factores, \color{Chocolate}y-k_1 e \color{Chocolate}y-k_2, con k_1 y k_2, constantes reales, tales que
\begin{array}{rcl}
k_1+k_2&=&900\vphantom{\Big|}\\
k_1\cdot k_2&=&180\,000\vphantom{\Big|}
\end{array}Ambas pueden dilucidarse mentalmente; sus valores son k_1=600 y k_2=300.
Por consiguiente,
\begin{equation}
P\left(y\right)=\displaystyle\frac{1}{9}\left(y-600\right)\left(y-300\right)
\end{equation}o bien, deshaciendo el cambio de variable
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
P\left(x\right)&=&\displaystyle\frac{1}{9} \left(9x-600\right) \left(9x-300\right)\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{9} \cdot9 \left(x-\frac{600}{9}\right)\cdot9 \left(x-\frac{300}{9}\right)\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
&=&9\displaystyle\left(x-\frac{200}{3}\right) \left(x-\frac{100}{3}\right)\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
\end{array}
\end{equation}De aquí se sigue que son dos los posibles valores de x
\begin{equation}
\colorbox{lavender}{\(\left(x=\displaystyle\frac{200}{3}\right) \lor \left(x=\displaystyle\frac{100}{3}\right)\)}
\end{equation}Finalmente, en concordancia con \left(2\right), los valores respectivos de \overline{EB\,}, son
\begin{equation}
\left(\overline{EB\,}=\displaystyle\frac{100}{3}\right) \lor \left(\overline{EB\,}=\displaystyle\frac{200}{3}\right)
\end{equation}Tenemos entonces dos parejas de soluciones
\begin{equation}
\left. \begin{array}{c}
\overline{DE\,}=\displaystyle\frac{200}{3}\vphantom{\Bigg|^{\big|}}\\
\overline{EB\,}=\displaystyle\frac{100}{3}\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}
\end{array}\right\}
\phantom{xx},\phantom{xx}
\left. \begin{array}{c}
\overline{DE\,}=\displaystyle\frac{100}{3}\vphantom{\Bigg|^{\big|}}\\
\overline{EB\,}=\displaystyle\frac{200}{3}\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}
\end{array}\right\}
\end{equation}No obstante, aún resta comprobar cuál de ellas verifica la desigualdad planteada en el enunciado del problema
\begin{equation}
\overline{EB\,}<\overline{DE\,}
\end{equation}De inmediato nos percatamos de que solamente el primero de estos pares la satisface. Así, la distancia pedida es
\begin{equation}
\colorbox{PaleTurquoise}{\(\phantom{x}\overline{DE\,}=\displaystyle\frac{200}{3}\,\text{m}\cong 66,7\,\text{m} \vphantom{\Huge|}\phantom{x_{\Big|}}\)}
\end{equation}