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La disputa de los encolerizados heredípetas

Ante la guerra de exhibiciones y acusaciones en la que en estos postreros días se han enzarzado algunas conocidas figuras de la política nacional y que pareciera augurar tiempos convulsos, aunque de ninguna manera raros en el vaivén democrático de una nación que lucha por su transformación, merece la pena acallar nuestras angustias y tranquilizar la mente con un buen desafío de matemáticas.  

A tenor de lo expuesto, nuestros lectores se servirán encontrar un acertijo que requiere de conocimientos elementales de geometría. Esperamos que disfruten de él.

ACERTIJO

¡Esperamos gustosos sus comentarios, observaciones y propuestas de resolución!

SOLUCIÓN

Al abordar este tipo de problemas siempre será oportuno mirar con detenimiento los esbozos de los que disponemos.

Fig. 1.1 – La finca de la discordia.

Siendo la longitud del segmento DE nuestra incógnita, pareciera conveniente representarla por una nueva variable; digamos

\begin{equation}
          x=\overline{DE\,}
\end{equation}

En consecuencia, habiéndose de cumplir que \overline{DE\,}+\overline{EB\,}=100, será preciso que

\begin{equation}
          \overline{EB\,}=100-x
\end{equation}

Claramente, por pertenecer estos segmentos a vallados cuadrados, las medidas de los lados restantes que los conforman, tendrán, respectivamente, estos mismos valores; es decir

\begin{array}{c}
          \overline{EF\,}=\overline{FG\,}=\overline{GD\,}=x\vphantom{\Bigg|}\\
          \overline{EH\,}=\overline{HI\,}=\overline{IB\,}=100-x\vphantom{\Bigg|}\\
\end{array}

Con esta elección, las bases y alturas de \triangle BFE \, y \, \triangle HED quedan completamente determinadas en función de x.

Más aún, tras advertir que \triangle BFE \, y \, \triangle BCD son semejantes (por tener ángulos homólogos idénticos) y que están en posición de Thales, como ocurre también con \triangle HED \, y \, \triangle ABD, podemos construir sendas relaciones de proporcionalidad entre sus lados.

Fig. 1.2\triangle BFE \sim \triangle BCD pues \widehat{C}=\widehat{F}, \widehat{D}=\widehat{E} y \widehat{B} es compartido por ambos. Similarmente, \triangle HED \sim \triangle ABD pues \widehat{A}=\widehat{H}, \widehat{B}=\widehat{E} y \widehat{D} es compartido por ambos.

A saber,

\begin{gather}
          \displaystyle \frac{\overline{CD\,}}{\overline{DB\,}}=\frac{\overline{FE\,}}{\overline{EB\,}}
\end{gather}

y

\begin{gather}
          \displaystyle \frac{\overline{AB\,}}{\overline{BD\,}}=\frac{\overline{HE\,}}{\overline{ED\,}}
\end{gather}

Ahora bien, en virtud de que para dos puntos cualesquiera del espacio euclídeo, M y N, se cumple que \overline{MN\,}=\overline{NM\,}, esto es, que la distancia entre ambos permanece invariable sin importar la orientación del segmento que les une, podemos reemplazar \left(1\right) y \left(2\right) en ambas proporciones para obtener, respectivamente, las alturas de los triángulos \triangle BCD y \triangle ABD:

\begin{gather}
          \displaystyle \overline{CD\,}=100\cdot\frac{x}{100-x}
\end{gather}
\begin{gather}
          \displaystyle \overline{AB\,}=100\cdot\frac{100-x}{x}
\end{gather}

Conocidas ambas, el área de la finca no es mas que la suma de las áreas de los dos triángulos recién referidos; i. e.,

\begin{gather}
\begin{array}{rcl}
          A_{_{finca}}&=&A_{_{\triangle BCD}}+A_{_{\triangle ABD}}\vphantom{\Bigg|}\\
          &=&\displaystyle \frac{1}{2} \,\overline{DB\,}\cdot\overline{CD\,}+\frac{1}{2}\,\overline{DB\,}\cdot\overline{AB\,}\vphantom{\Bigg|}\\
          &=&\displaystyle \frac{1}{2} \,\overline{DB\,}\left(\overline{CD\,}+\overline{AB\,}\right)\vphantom{\Bigg|}\\
\end{array}
\end{gather}

Si introducimos en esta expresión tanto los valores numéricos dados el enunciado como las expresiones algebraicas determinados por nosotros, obtenemos

\begin{array}{rcl}
          12\,500
          &=& \displaystyle \frac{1}{2} \cdot100 \left(100\cdot\frac{x}{100-x}+100\cdot\frac{100-x}{x}\right)\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
          &=&50\cdot100 \displaystyle\left(\frac{x}{100-x}+\frac{100-x}{x}\right)\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
          &=&5\,000\displaystyle\left[\frac{x^2+\left(100-x\right)^2}{x\left(100-x\right)}\right]\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
\end{array}

Dividiendo ahora ambos miembros de la igualdad por 5\,000, desarrollando el cuadrado del binomio del numerador del miembro derecho y expandiendo el producto del denominador del mismo, resulta

\begin{array}{rcl}
          \displaystyle \frac{12\,500}{5\,000}&=&\displaystyle \frac{x^2+10\,000-200x +x^2}{100x-x^2\vphantom{\big|}} \Rightarrow\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
          \displaystyle \frac{5}{2}&=&\displaystyle \frac{2x^2-200x +10\,000}{100x-x^2\vphantom{\big|}} \vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
\end{array}

Empero, merced a la propiedad fundamental de las proporciones (i. e., la igualdad entre los productos cruzados de las fracciones que la componen), podemos escribir

\begin{array}{rcl}
          5\left(100x-x^2\right)&=&2\left(2x^2-200x+10\,000\right)\Rightarrow\vphantom{\Big|}\\
          500x-5x^2&=&4x^2-400x+20\,000\Rightarrow\vphantom{\Big|}\\
          0&=&4x^2+5x^2-400x-500x+20\,000\Rightarrow\vphantom{\Big|}\\
          0&=&9x^2-900x+20\,000\vphantom{\Big|}\\
\end{array}

En este punto, el problema se ha reducido a encontrar las raíces del polinomio

\begin{equation}
          \colorbox{lavender}{\(P\left( x \right)=9x^2-900x+20\,000\)}
\end{equation}

Si bien pudiéramos hallarlas mediante la celebérrima fórmula cuadrática, lo haremos por factorización.

Con este propósito, multiplicaremos a P\left(x\right) por su coeficiente principal y lo dividiremos por el mismo, en el entendido de que esto equivale a multiplicarle por la unidad y, por lo tanto, a dejarle inalterado:

\begin{array}{rcl}
          P\left(x\right)&=&\displaystyle\frac{1}{9}\cdot 9 \left(9x^2-900x+20\,000\right)\vphantom{\Bigg|}\\
          &=&\displaystyle\frac{1}{9} \left[\left(9x\right)^2-900\left(9x\right)+180\,000\right]\vphantom{\Bigg|}\\
\end{array}

Si hacemos ahora el cambio de variable

\begin{equation}
          y=9x
\end{equation}

podemos escribir

\begin{equation}
          P\left(y\right)=\displaystyle\frac{1}{9}\left(y^2-900y+180\,000\right)
\end{equation}

El término encerrado entre paréntesis es un polinomio mónico y, subsecuentemente, puede expresarse como el producto de dos factores, \color{Chocolate}y-k_1 e \color{Chocolate}y-k_2, con k_1 y k_2, constantes reales, tales que

\begin{array}{rcl}
          k_1+k_2&=&900\vphantom{\Big|}\\
          k_1\cdot k_2&=&180\,000\vphantom{\Big|}
\end{array}

Ambas pueden dilucidarse mentalmente; sus valores son k_1=600 y k_2=300.

Por consiguiente,

\begin{equation}
          P\left(y\right)=\displaystyle\frac{1}{9}\left(y-600\right)\left(y-300\right)
\end{equation}

o bien, deshaciendo el cambio de variable

\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
          P\left(x\right)&=&\displaystyle\frac{1}{9} \left(9x-600\right) \left(9x-300\right)\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
          &=&\displaystyle\frac{1}{9} \cdot9 \left(x-\frac{600}{9}\right)\cdot9 \left(x-\frac{300}{9}\right)\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
          &=&9\displaystyle\left(x-\frac{200}{3}\right) \left(x-\frac{100}{3}\right)\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}\\
\end{array}
\end{equation}

De aquí se sigue que son dos los posibles valores de x

\begin{equation}
          \colorbox{lavender}{\(\left(x=\displaystyle\frac{200}{3}\right) \lor \left(x=\displaystyle\frac{100}{3}\right)\)}
\end{equation}

Finalmente, en concordancia con \left(2\right), los valores respectivos de \overline{EB\,}, son

\begin{equation}
          \left(\overline{EB\,}=\displaystyle\frac{100}{3}\right) \lor \left(\overline{EB\,}=\displaystyle\frac{200}{3}\right)
\end{equation}

Tenemos entonces dos parejas de soluciones

\begin{equation}
         \left. \begin{array}{c}
                    \overline{DE\,}=\displaystyle\frac{200}{3}\vphantom{\Bigg|^{\big|}}\\
                    \overline{EB\,}=\displaystyle\frac{100}{3}\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}
         \end{array}\right\}
\phantom{xx},\phantom{xx}
         \left. \begin{array}{c}
                    \overline{DE\,}=\displaystyle\frac{100}{3}\vphantom{\Bigg|^{\big|}}\\
                    \overline{EB\,}=\displaystyle\frac{200}{3}\vphantom{\Bigg|^{\bigg|}}
         \end{array}\right\}
\end{equation}

No obstante, aún resta comprobar cuál de ellas verifica la desigualdad planteada en el enunciado del problema

\begin{equation}
          \overline{EB\,}<\overline{DE\,}
\end{equation}

De inmediato nos percatamos de que solamente el primero de estos pares la satisface. Así, la distancia pedida es

\begin{equation}
          \colorbox{PaleTurquoise}{\(\phantom{x}\overline{DE\,}=\displaystyle\frac{200}{3}\,\text{m}\cong 66,7\,\text{m} \vphantom{\Huge|}\phantom{x_{\Big|}}\)}
\end{equation}

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