Como nuestros lectores podrán suponer, en The Mexico News nos encantan los números factoriales, así que hemos querido incluirles una vez más en otra de nuestras ediciones de acertijos bisemanales. Para quienes han resuelto el divertimento anterior, este resultará pan comido.
ACERTIJO
\large\def\arraystretch{1.5}\color{MediumSlateBlue}\begin{array}{l}\texttt{Dificultad: 1/5.}\\ \texttt{Tema(s): aritmética}\end{array}Consideremos la suma
1!+2!+3!+\cdots+15!
¿Cuánto vale el dígito de sus unidades?
¡Ponte a prueba e inténtalo!
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SOLUCIÓN
Desarrollemos algunos de los factoriales más pequeños, por ejemplo, los siete primeros
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{rcl}
1!&=&1\\
2!&=&2\cdot1=2\\
3!&=&3\cdot2\cdot1=6\\
4!&=&4\cdot3\cdot2\cdot1=24\\
\color{Blue}5!&=&\color{Red}5\color{666666}\cdot4\cdot3\cdot\color{Red}2\color{666666}\cdot1=120\\
\color{Blue}6!&=&6\cdot\color{Red}5\color{666666}\cdot4\cdot3\cdot\color{Red}2\color{666666}\cdot1=720\\
\color{Blue}7!&=&7\cdot6\cdot\color{Red}5\color{666666}\cdot4\cdot3\cdot\color{Red}2\color{666666}\cdot1=5\,040\\
\end{array}Una vez que ocurre el producto 5\cdot2, todos los factoriales sucesivos lo contendrán y, en consecuencia, quedarán también multiplicados por diez. De ahí que la cifra de las unidades de n!,\, \forall \,n\in\mathbb{N}:n\geq5, sea siempre cero.
Por tanto, el dígito pedido proviene solamente de la suma
1!+2!+3!+4!=33
Luego,
\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}\text{El dígito de las unidades es 3.}\vphantom{\Bigg|}\phantom{xxx}\)}Bibliografía consultada:
Linker, D. & Sultan, A. (2016). Mathematics Problem-Solving Challenges for Secondary School Students and Beyond. New Jersey, EE.UU.AA: World Scientific Publishing.
