Buscando ceros

Trabajar con números superiores a un billón puede parecer una tarea sumamente engorrosa si ha de hacerse manualmente. Con todo, es posible discernir algunas peculiaridades de números descomunales si buscamos patrones con atención. He aquí un problemilla para intentarlo.

ACERTIJO

El número 12\,003\,000 culmina con tres ceros consecutivos.

¿Con cuántos ceros consecutivos termina el número 50!\,?

\texttt{\small{NOTA: }} 50! \,=\, 50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot\ldots\cdot3\cdot2\cdot1 . Si al lector le resulta confusa esta notación, sirva como ejemplo considerar que 10!\,=\,10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=3\,628\,800.

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SOLUCIÓN

Tras un primer vistazo, resulta difícil imaginar que tres símbolos permitan representar de forma tan compacta un número del orden de los miles de decillones. Con mayor precisión, 50! es superior a los treinta mil decillones. Una cantidad ingente y difícil de visualizar. Nos preguntamos entonces…

¿Qué características comparten lo números terminados en cero?

Los ceros con los que un entero finaliza dan cuenta de cuántas veces aparece el 10 como factor de él. Así, por ejemplo, 20, que tiene un cero, puede escribirse como 20=2\cdot10\,; similarmente 200, que finaliza con dos ceros consecutivos, puede escribirse como 200=2\cdot10\cdot10. De igual forma, 2\,000=2\cdot10\cdot10\cdot10.

Como la descomposición en factores primos del diez es

\begin{equation}
    10=2\cdot5
\end{equation}

nos bastará con saber cuántos pares de doses y cincos hay en la descomposición de 50! para saber con cuántos ceros culmina.

Por supuesto, no multiplicaremos los enteros positivos del uno al cincuenta; en su lugar, los dispondremos en una tabla como la siguiente:

\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
    \color{LightGray}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline
    11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\\hline
    21&22&23&24&25&26&27&28&29&30\\\hline
    31&32&33&34&35&36&37&38&39&40\\\hline
    41&42&43&44&45&46&47&48&49&50
\end{array}

Descomponer estas cantidades en factores primos es una tarea sencilla y puede conseguirse manualmente en unos cinco minutos. Dicha factorización se muestra enseguida

\small
\def\arraystretch{1.75}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
    \color{LightGray}1&2&3&2^2&5&2\cdot3&7&2^3&3^2&2\cdot5\\\hline
    11&2^2\cdot3&13&2\cdot7&3\cdot5&2^4&17&2\cdot3^2&19&2^2\cdot5\\\hline
    3\cdot7&2\cdot11&23&2^3\cdot3&5^2&2\cdot13&3^3&2^2\cdot7&29&2\cdot3\cdot5\\\hline
    31&2^5&3\cdot11&2\cdot17&5\cdot7&2^2\cdot3^2&37&2\cdot19&3\cdot13&2^3\cdot5\\\hline
    41&2\cdot3\cdot7&43&2^2\cdot11&3^2\cdot5&2\cdot23&47&2^4\cdot3&7^2&2\cdot5^2
\end{array}

Ahora bien, por ser 50! el producto de todas estas cantidades, podemos poner

50!=2^{47}\cdot3^{22}\cdot5^{12}\cdot7^{8}\cdot11^{4}\cdot13^{3}\cdot17^{2}\cdot19^{2}\cdot23^2\cdot29\cdot31\cdot37\cdot41\cdot43\cdot47

de donde se sigue que podemos formar 12 veces el producto 2\cdot5; doce, porque tal es el exponente de 5 y hay otros tantos doses para completar dichos productos.

Las mentes más avispadas notarán que no hacía falta buscar la factorización de cada uno de los enteros, sino solamente la de los pares y la de los múltiplos de cinco (cumpliendo algunos números con ser múltiplos de ambos); no obstante, nos ha parecido instructivo incluirla.

Así pues, concluimos que

\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}50!\;\text{termina con 12 ceros consecutivos.}\phantom{xxx}\vphantom{\Big|}\)}

En efecto, podemos comprobar con ayuda de Wolfram Alpha (u otros sistemas de cálculo numérico) que

\small50!=30\,414\,093\,201\,713\,378\,043\,612\,608\,166\,064\,768\,844\,377\,641\,568\,960\,512\color{Violet}\,000\,000\,000\,000

Bibliografía consultada:

Linker, D. & Sultan, A. (2016). Mathematics Problem-Solving Challenges for Secondary School Students and Beyond. New Jersey, EE.UU.AA: World Scientific Publishing.