Rara vez proponemos retos de alta dificultad, así que en esta ocasión hemos decidido «volarnos la barda».
Bueno…, quizás no sea tan complicado, pero hemos de admitir que el resultado es elegante y sorprendente.
PROBLEMA
\large \color{MediumSlateBlue}\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{l}\texttt{Dificultad: 4/5.}\\ \texttt{Temas: álgebra, trigonometría.}\end{array}Hállense los valores de x para los que
\begin{equation}
\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}=x
\end{equation}¡Ponte a prueba e inténtalo!
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SOLUCIÓN
Comencemos por determinar si esta ecuación tiene solución real. De ser así, los gráficos de las funciones
\begin{equation}
f\left(x\right)=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}
\end{equation}y
\begin{equation}
g\left(x\right)=x
\end{equation}habrán de intersecarse, cuando menos, una vez.
Con mayor generalidad, podemos decir que la primera de estas es de la forma
\begin{equation}
h\left(x\right)=\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+x}}}\;\text{ , }a\in\mathbb{R}^+
\end{equation}y cuyo dominio vendrá dado por el conjunto de todas las x que satisfacen que
a+x\geq0\Leftrightarrow x\geq-a
y
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{rl}
a-\sqrt{a+x}\geq0&\Leftrightarrow\\
\sqrt{a+x}\leq a&\Leftrightarrow\\
a+x\leq a^2&\Leftrightarrow\\
x\leq a^2-a&=a\left(a-1\right)
\end{array}esto es,
\begin{equation}
\mathrm{Dom }\,h=\left[-a,a\left(a-1\right)\vphantom{\Big|}\right]
\end{equation}Ahora bien, como
\begin{equation}
h'\left(x\right)=-\frac{1}{8\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+x}}}\sqrt{a-\sqrt{a+x}}\sqrt{a+x}}
\end{equation}y
\mathrm{Dom }\,h'=\left(-a,a\left(a-1\right)\vphantom{\Big|}\right)resulta ser
h'\left(x\right)<0\;\forall\; x\in\left(-a,a\left(a-1\right)\vphantom{\Big|}\right)de modo que h\left(x\right) es estrictamente decreciente. De allí se desprende que la imagen de la función esté comprendida entre h\left(a^2-a\right) y h\left(-a\right); es decir, que
\begin{equation}
\mathrm{Im}\,h=\left[\sqrt{a},\sqrt{a+\sqrt{a}}\right]
\end{equation}Así, para que h\left(x\right) se interseque con la función identidad, es necesario que el valor del extremo superior de su dominio de definición, sea igual o superior al extremo inferior de su imagen, esto es
\begin{equation}
\fcolorbox{black}{white}{\(\phantom{xx}a\left(a-1\right)\geq \sqrt{a}\vphantom{\Big|}\phantom{xx}\)}
\end{equation}En el caso que nos ocupa a=2 y, en efecto
2\geq\sqrt{2}Luego, el valor buscado de x existe y es positivo. En particular, sabemos que, en virtud de \left(4\right), x\leq 2.
Ahora bien, si elevamos al cuadrado ambos miembros de \left(1\right), resulta
2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}=x^2de donde se sigue que
\begin{equation}
x^2-2=\sqrt{2-\sqrt{2+x}}
\end{equation}Por supuesto, esperamos que
x^2-2\geq0\Leftrightarrow x^2\geq2\Leftrightarrow \left|x\right|\geq \sqrt{2}y, como x es positivo, concluimos que ha de ser
\begin{equation}
\sqrt{2}\leq x\leq2
\end{equation}Si ahora elevamos al cuadrado ambos miembros de \left(9\right)
\begin{equation}
\sqrt{2+x}=2-\left(x^2-2\right)^2
\end{equation}Llegado este punto, echaremos mano de un ingenioso cambio de variable inspirado en el hecho de que
\frac{\sqrt{2}}{2}\leq \frac x2\leq1
En concreto, si tomamos
\frac x2=\cos{t}, \textcolor{#7e7e7e}{\;\text{con }} t\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\left(11\right) queda como
\def\arraystretch{1.95}
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\sqrt{2+2\cos{t}}&=&2-\left(4\cos^2{t}-2\right)^2\\
&=&2-\left[2\left(2\cos^2{t}-1\right)\right]^2\\
&=&2-4\cos^2{2t}\\
&=&-2\left(2\cos^2{2t}-1\right)\\
&=&-2\cos{4t}\\
\end{array}
\end{equation}Conviene advertir aquí que el signo negativo en el miembro derecho demanda que \cos{4t}\leq 0. Así pues, los valores de t quedarán restringidos según la inecuación:
\begin{equation}
\frac{\pi}{2}\leq4t\leq\pi\Leftrightarrow \frac{\pi}{8}\leq t\leq\frac{\pi}{4}
\end{equation}Y, si elevamos ahora al cuadrado ambos miembros de \left(12\right), queda
2+2\cos{t}=4\cos^2{4t}o bien, reordenando términos
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{rcl}
2\cos{t}&=&4\cos^2{4t}-2\Rightarrow\\
\cos{t}&=&2\cos^2{4t}-1\\
&=&\cos{8t}
\end{array}Obtenemos así la expresión
\begin{equation}
\cos{8t}-\cos{t}=0
\end{equation}Más aún, si usamos la conocida identidad trigonométrica
\begin{equation}
\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\mathrm{\,sen}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\mathrm{sen}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)
\end{equation}podemos escribir \left(14\right) como
\begin{equation}
-2\,\mathrm{\,sen\,}\frac{9t}{2}\mathrm{\,sen\,}\frac{7t}{2}=0
\end{equation}En consecuencia, por la propiedad del producto nulo, se tienen dos posibilidades
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.3}
\left.
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\mathrm{sen\,}\frac{9t}{2}=0\vphantom{\Bigg|}\\
\displaystyle\mathrm{sen\,}\frac{7t}{2}=0\vphantom{\Bigg|}
\end{array}
\color{LightGray}\right\}
\end{equation}que, respectivamente, se cumplen si
\def\arraystretch{2.3}
\left.
\begin{array}{rclr}
\displaystyle\frac{9t}{2}&=&m\pi&,\;\;m=0,\pm1,\pm2,\pm3,\ldots\vphantom{\Bigg|}\\
\displaystyle\frac{7t}{2}&=&n\pi&,\;\;n=0,\pm1,\pm2,\pm3,\ldots\vphantom{\Bigg|}\\
\end{array}
\color{LightGray}\right\}o, lo que es lo mismo
\def\arraystretch{2.3}
\left.
\begin{array}{rclr}
t&=&\displaystyle\frac{2m\pi}{9}&,\;\;m=0,\pm1,\pm2,\pm3,\ldots\vphantom{\Bigg|}\\
t&=&\displaystyle \frac{2n\pi}{7}&,\;\;n=0,\pm1,\pm2,\pm3,\ldots\vphantom{\Bigg|}\\
\end{array}
\color{LightGray}\right\}Pero, dadas las ligaduras impuestas en \left(13\right), no hay valor de n compatible, y el único posible valor de m es 1. Así, debe ser
\begin{equation}
t=\frac{2\pi}{9}
\end{equation}y, consecuentemente
\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxxx}\displaystyle x=2\cos\frac{2\pi}{9}\cong1{,}532089\phantom{xxxx}\vphantom{\Bigg|}\)}Esta maravillosa propuesta de resolución se debe al profesor Valery Volkov. El lector interesado seguramente disfrutará del contenido que suele publicar en sus redes sociales.
Fuentes consultadas:
Valery Volkov. (10 de diciembre de 2019). Супер ЖЕСТЬ для продвинутых: sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x)))=x [Archivo de vídeo]. YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=3JG53NtM7s4.
