Seguramente una de las exorbitantes cifras que aparecen en este desafío estará más que presente en en la mente de algunos de nuestros lectores.
Se trata de la cantidad pedida por el Poder Judicial en la partida 2215, «Productos Alimenticios para Personas Servidoras Públicas Superiores del Consejo de la Judicatura Federal»: casi cuatrocientos millones de pesos.
Tal petición pudiera parecer natural si no se tuviese en cuenta que solamente está destinada a 1767 beneficiarios; aquellos bajo el designio de «superiores», y cuyo nombre lleva ya implícita la insignia de la descomposición y la desigualdad social que tanto se acrecentaron en las últimas décadas.
ACERTIJO
\large\color{MediumSlateBlue}\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{l}\texttt{Dificultad: 1/5.}\\ \texttt{Temas: aritmética.}\end{array}Desarróllese como fracción continua el quebrado
\begin{equation}
\frac{386\,300\,000}{1\,767}
\end{equation}El numerador es, precisamente, la cantidad aludida en el preámbulo de esta nota.
¡Ponte a prueba e inténtalo!
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SOLUCIÓN
Por el algoritmo de la división (cuyos detalles hemos expuesto ya en el acertijo de La furibunda ogresa de Buenavista), sabemos que
386\,300\,000=218\,619\cdot1\,767+227
o, equivalentemente, dividiendo ambos miembros de la igualdad por 1 767
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.75}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{386\,300\,000}{1\,767}&=&\displaystyle218\,619+\frac{227}{1\,767}\\
&=&\displaystyle218\,619+\frac{1}{\frac{1\,767\vphantom{\big|}}{227\vphantom{\big|}}\vphantom{\Big|}}\\
\end{array}
\end{equation}Si aplicamos nuevamente el algoritmo de la división al quebrado que aparece en el denominador del segundo sumando del miembro derecho, hallamos que
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.75}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{1\,767}{227}&=&\displaystyle 7+\frac{128}{227}\\
&=&\displaystyle7+\frac{1}{\frac{227\vphantom{\big|}}{128\vphantom{\big|}}}\\
\end{array}
\end{equation}de modo que podemos escribir
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.75}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{386\,300\,000}{1\,767}&=&\displaystyle218\,619+\frac{1}{7+\displaystyle\frac{1\vphantom{\big|}}{\frac{227\vphantom{\big|}}{128\vphantom{\big|}}}}\\
\end{array}
\end{equation}Repitiendo el proceso para la nueva fracción de numerador 1, tenemos
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.75}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{227}{178}&=&\displaystyle 1+\frac{49}{178}\\
&=&\displaystyle 1+\frac{1}{\frac{178\vphantom{\big|}}{49\vphantom{\big|}}}\\
\end{array}
\end{equation}de suerte que
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.75}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{386\,300\,000}{1\,767}&=&\displaystyle218\,619+\frac{1}{7+\displaystyle\frac{1\vphantom{\big|}}{1+\displaystyle\frac{1\vphantom{\big|}}{\frac{178\vphantom{\big|}}{49\vphantom{\big|}}}}}\\
\end{array}
\end{equation}A estas alturas el lector tendrá claridad sobre los sucesivos pasos que habremos de dar, así que por simplicidad nos limitaremos a desarrollar las fracciones que vayan apareciendo y las incorporaremos todas en el paso final.
Luego, por un procedimiento análogo, tenemos que
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.75}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{178}{49}&=&\displaystyle 3+\frac{31}{49}\\
&=&\displaystyle 3+\frac{1}{\frac{49\vphantom{\big|}}{31\vphantom{\big|}}}\\
\end{array}
\end{equation}y, similarmente
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.75}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{49}{31}&=&\displaystyle 1+\frac{1}{\frac{31\vphantom{\big|}}{18\vphantom{\big|}}}\\
\end{array}
\end{equation}También
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.75}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{31}{18}&=&\displaystyle 1+\frac{1}{\frac{18\vphantom{\big|}}{13\vphantom{\big|}}}\\
\end{array}
\end{equation}donde
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.75}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{18}{13}&=&\displaystyle 1+\frac{1}{\frac{13\vphantom{\big|}}{5\vphantom{\big|}}}\\
\end{array}
\end{equation}siendo
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.75}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{13}{5}&=&\displaystyle 2+\frac{1}{\frac{5\vphantom{\big|}}{3\vphantom{\big|}}}\\
\end{array}
\end{equation}con
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.75}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{5}{3}&=&\displaystyle 1+\frac{1}{\frac{3\vphantom{\big|}}{2\vphantom{\big|}}}\\
\end{array}
\end{equation}y, finalmente, siendo
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.75}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{3}{2}&=&\displaystyle 1+\frac{1}{2}\\
\end{array}
\end{equation}De este modo, y habiendo introducido todos estos resultados en \left(6\right), podemos escribir
\begin{equation}
\small
\def\arraystretch{2.75}
\colorbox{Lavender}{\(\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{386\,300\,000}{1\,767}&=&\displaystyle218\,619+\frac{1}{7+\displaystyle\frac{1\vphantom{\big|}}{1+\displaystyle\frac{1\vphantom{\big|}}{3+\displaystyle\frac{1\vphantom{\big|}}{1+\displaystyle\frac{1\vphantom{\big|}}{1+\displaystyle\frac{1\vphantom{\big|}}{1+\displaystyle\frac{1\vphantom{\big|}}{2+\displaystyle\frac{1\vphantom{\big|}}{1+\displaystyle\frac{1\vphantom{\big|}}{1+\frac{1}{2}\vphantom{\Big|}}}}}}}}}}\\
\end{array}\)}
\end{equation}que es el desarrollo pedido.
