En momentos de gran enojo, a los números conviene echarles un ojo. La terapia matemática serenará con presteza a la mente más explosiva y a todo aquel al que se le haya ido la olla.
Si te has visto en semejante situación, te invitamos a resolver este sencillo enigma de álgebra elemental. Ansiamos que nuestros disfruten de él.
ACERTIJO
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SOLUCIÓN
Si llamamos \,x\, al menor de los factores en cuestión, el mayor será \,x+10\,. Luego, el cálculo correcto del producto ha de valer
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
x\left(x+10\right)&=&x^2+10x
\end{array}
\end{equation}Una disminución en 4 en el dígito de las decenas del resultado supone, en virtud de la estructura del sistema decimal (tal y como lo expusimos en el reto de la alcaldesa vampiresa), una disminución en 40 al valor real del producto.
Así, el número obtenido por la descontrolada ogresa fue
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
x^2+10x-40
\end{array}
\end{equation}Por lo que respecta a la segunda parte del problema, vale la pena recordar las partes que conforman a una división.
Desde la educación primaria estamos bien familiarizados con esquemas como el siguiente:
\small
\begin{array}{rl}
&\begin{array}{r}\phantom{d.}\color{Green}\text{cociente}\vphantom{\Big|}\end{array}\\
\color{MediumVioletRed}\text{divisor}&\begin{array}{|r}\hline \color{Blue}\text{dividendo}\vphantom{\Big|}\end{array} \\
& \begin{array}{r} \phantom{divi\,}\color{Goldenrod}\text{ resto}\vphantom{\Big|}\end{array}
\end{array}
y que verifican la relación
\small
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\color{Blue}\text{dividendo}&=&\color{Green}\text{cociente}\color{666666}\cdot\color{MediumVioletRed}\text{divisor}\color{666666}+\color{Goldenrod}\text{resto}
\end{array}
\end{equation}o, equivalentemente, al dividir ambos miembros de la igualdad por el \color{MediumVioletRed}\text{divisor},
\small
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{\color{Blue}\text{ dividendo }}{\color{MediumVioletRed}\text{divisor}}&=&\color{Green}\text{cociente}\color{666666}+\displaystyle\frac{\color{Goldenrod}\text{resto}}{\color{MediumVioletRed}\text{ divisor }}
\end{array}
\end{equation}Ambas ecuaciones suelen aparecer en la bibliografía escolar bajo el nombre de algoritmos de la división euclídea.
Cualquiera de ellas resulta útil para nuestro propósito. Así, usando la primera de ellas, podemos escribir
\def\arraystretch{1.7}
\begin{array}{rcl}
x^2+10x-40&=&39x+22\Rightarrow\\
x^2-29x-62&=&0
\end{array}Como ha ocurrido en muchos otros de nuestros desafíos semanales, el problema se ha reducido a hallar las raíces de un polinomio. Aunque podríamos recurrir a la fórmula cuadrática con este cometido, la ecuación es tan sencilla que lo haremos por factorización. Así pues, sabiendo que el producto de las raíces debe valer 62 y que su diferencia ha de ser 29, podemos escribir
\def\arraystretch{1.7}
\begin{array}{rclcl}
x^2-29x-62&=&\left(x-31\right)\left(x+2\right)&=&0
\end{array}Lo que demanda, según la propiedad de todo producto nulo, que
\left(x=31\right)\lor\left(x=-2\right)
Esto da lugar a dos pares solución de la forma \left(x,\,x+10\right)
\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}\left(31,\,41\right)\lor\left(-2,\,8\right)\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}En efecto, de haber multiplicado 31 por 41, la ogresa obtuvo 1 231 en vez de 1 271. Y, en concordancia con \left(4\right),
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{1\,231}{31}&=&39+\displaystyle\frac{\,22\,}{31}
\end{array}Similarmente, de haber multiplicado -2 por 8, en vez de -16, la ogresa obtuvo -56 (¡menudo disparate!, ¿no?), que también satisface que
\def\arraystretch{2.4}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac{\,-56\,}{-2}&=&39+\displaystyle\frac{\,\,22\,\,}{-2}\Rightarrow\\
28&=&39-11
\end{array}Ambas posibilidades son correctas.
