Álgebra olímpica

¡Afina tus habilidades matemáticas con este nuevo reto! ¡Cuéntanos cómo lo resolverías!

Problemas como el que presentamos a continuación suelen ser relativamente comunes en fases eliminatorias de olimpiadas de matemáticas. Aunque es algo engorroso, no es nada difícil.

PROBLEMA

Se pide determinar el valor de \,x\, que satisfaga la ecuación

\displaystyle\frac{2+x}{\sqrt{2}+\sqrt{2+x}\vphantom{\Big|}}+\frac{2-x}{\sqrt{2}-\sqrt{2-x}\vphantom{\Big|}}=\sqrt{2\,}

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SOLUCIÓN

Tal y como ha ocurrido en muchos otros de nuestros acertijos, la vía de resolución dependerá completamente de la creatividad del lector.

Una opción podría ser la mostrada a continuación:

Comenzaremos por racionalizar los denominadores del miembro izquierdo de la igualdad; es decir, pondremos

\small\displaystyle
\frac{2+x}{\sqrt{2}+\sqrt{2+x}\vphantom{\Big|}}\cdot
\color{Red}\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2+x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2+x}\vphantom{\Big|}}
\color{666666}+\frac{2-x}{\sqrt{2}-\sqrt{2-x}\vphantom{\Big|}}\cdot
\color{Red}\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-x}\vphantom{\Big|}}\color{666666}=\sqrt{2}

Tras desarrollar los productos, resulta

\small\displaystyle
\frac{2\sqrt{2\,}-2\sqrt{2+x}+\sqrt{2\,}\,x-x\sqrt{2+x}}{-x}+
\frac{2\sqrt{2\,}+2\sqrt{2-x}-\sqrt{2\,}\,x-x\sqrt{2-x}}{x}=\sqrt{2}

o, lo que es lo mismo

\small\displaystyle
\frac{-2\sqrt{2\,}+2\sqrt{2+x}-\sqrt{2\,}\,x+x\sqrt{2+x}}{x}+
\frac{2\sqrt{2\,}+2\sqrt{2-x}-\sqrt{2\,}\,x-x\sqrt{2-x}}{x}=\sqrt{2\,}

Una vez reducidos los términos semejantes, queda

\begin{equation}
    \small\displaystyle\frac{2\sqrt{2+x}+x\sqrt{2+x}+2\sqrt{2-x}-x\sqrt{2-x}-2\sqrt{2\,}x}{x}=\sqrt{2\,}
\end{equation}

Y, multiplicando ambos miembros por \,x\,, obtenemos

2\sqrt{2+x}+x\sqrt{2+x}+2\sqrt{2-x}-x\sqrt{2-x}-2\sqrt{2\,}x=\sqrt{2\,}\,x

Mejor aún, agrupando términos, resulta

\displaystyle
\left(2+x\right)\sqrt{2+x}+\left(2-x\right)\sqrt{2-x}=3\sqrt{2\,}x

Si tenemos además en cuenta que los signos radicales representan en realidad exponentes fraccionarios, podemos escribir

\begin{equation}
\displaystyle
\left(2+x\right)^{3/2}+\left(2-x\right)^{3/2}=3\sqrt{2\,}x
\end{equation}

Si elevamos ahora ambos miembros de esta expresión al cuadrado, resulta

\left(2+x\right)^3+\left(2-x\right)^3+2\sqrt{\left[\left(2+x\right)\left(2-x\right)\right]^3}=18x^2

Una vez desarrollada la suma de cubos y efectuado el producto bajo el signo radical, queda

16+12x^2+2\sqrt{\left(4-x^2\right)^3}=18x^2

O, equivalentemente

\sqrt{\left(4-x^2\right)^3}=3x^2-8

Si de nuevo elevamos ambos miembros de esta igualdad al cuadrado, resulta

\begin{equation}
    \left(4-x^2\right)^3=\left(3x^2-8\right)^2
\end{equation}

de donde, al expandir ambas potencias, hallamos

64-48x^2+12x^4-x^6=9x^2-48x^2+64

Y, reduciendo nuevamente términos semejantes, tenemos que

\begin{equation}
    x^6-3x^4=0
\end{equation}

expresión que factorizada es

x^4\left(x^2-3\right)=0

Como todo producto nulo, habrá de verificarse si alguno de los factores es cero; es decir, si

\begin{equation}
    \left(x=0\right)\lor\left(x^2-3=0\right)
\end{equation}

Llegado este punto, no nos resta mas que dilucidar cuáles de los 3 valores posibles que satisfacen estas relaciones son elegibles.

Si ponemos

\begin{equation}
    f\left(x\right)=\displaystyle\frac{2+x}{\sqrt{2}+\sqrt{2+x}\vphantom{\Big|}}+\frac{2-x}{\sqrt{2}-\sqrt{2-x}\vphantom{\Big|}}
\end{equation}

advertiremos fácilmente que

\begin{equation}
    \mathrm{Dom}\,f=\left[-2,0\right)\cup\left(0,2\,\right]
\end{equation}

de modo que es imposible que \,x=0\, sea solución de la ecuación planteada. Luego, las únicas posibilidades parecen ser

x=\pm \sqrt{3\,}

Si pudiésemos determinar los signos de \,f\,, sabríamos cuál de estas satisface la igualdad f\left(x\right)=\sqrt{2}. El cálculo diferencial puede auxiliarnos en este propósito.

Las manipulaciones que nos condujeron a \left(1\right), nos permiten escribir

f\left(x\right)=2x^{-1}\left(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}\right)+\left(\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}\right)-2\sqrt{2\,}

de modo que

\def\arraystretch{3.4}
\begin{array}{rcr}
\small f'\left(x\right)&=&\displaystyle
-\frac{2}{x^2}\left(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}\right)+\frac{1}{x}\left(\frac{1}{\sqrt{2+x}}-\frac{1}{\sqrt{2-x}}\right)+\\
&&\displaystyle+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2+x}}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}\right)
\end{array}

Ahora bien, como

\begin{equation}
    \mathrm{Dom}\,f'=\left(-2,0\right)\cup\left(0,2\right) 
\end{equation}

y no hay valor \,x\, que satisfaga la igualdad f'\left(x\right)=0, concluimos que los intervalos de signo constante de f son

\left(-2,0\right)\text{ y }\left(0,2\right) 

Luego, como

f'\left(-1\right)<0

inferimos que f es estrictamente decreciente si \,-2< x<0.

Y, similarmente, como

f'\left(1\right)>0

f ha de ser estrictamente creciente si \,0<x<2.

Más aún, como

f\left(-2\right)=\frac{4}{\sqrt{2\,}-2}<0

concluimos que f\left(x\right)<0\,\,\forall\, x \in \left[-2,0\right). Consecuentemente,

f\left(-\sqrt{3\,}\right)<0<\sqrt{2\,}

de modo que la única solución posible es

\begin{equation}
    \colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}x=\sqrt{3\,}\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}
\end{equation}

Fuentes consultadas:

Bescós, E. Pena, Z. (2009). Matemáticas 2.º Bachillerato (Proyecto Tesela). Vizcaya, España. Oxford University Press España.

SQRT. [@mathisstillfun]. (2023, 26 de abril). Tricky. [tuit] https://twitter.com/mathisstillfun/status/1651206784919429122