Cuantiosos son los calificativos que pueden darse a los tiempos que como humanos solemos vivir: largos, breves, buenos, malos, insuficientes, extenuantes, justos, oportunos, etc.
Tocante a ello, proponemos a nuestros lectores un nuevo y, como siempre, sencillo acertijo sobre un peculiar intervalo temporal. Como es usual, la situación es del todo ficticia y anhelamos que nunca llegue a materializarse en ningún lugar del globo.
ACERTIJO
\color{Goldenrod} \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{l} \texttt {Dificultad: 2/5.}\\ \texttt {Temas: álgebra, funciones exponenciales.}\\\end{array}
En una poco atinada medida, el gobierno de cierta nación decidió elevar la edad de jubilación de sus ciudadanos según la siguiente regla matemática:
Si
f\left(x\right)=a^x+a^{-x}\;,\phantom{x}a\in\mathbb{R}^+y
\displaystyle f\left(\frac23\right)=1+2\sqrt2
entonces, la edad ordinaria (en años) para el retiro será
\displaystyle \frac{2024}{401}\cdot f\left(\frac32\right)Tras la entrada en vigor de dicha modificación,
¿a qué edad podrán los agotados ciudadanos aspirar a participar de este derecho?
¡Ponte a prueba e inténtalo!
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SOLUCIÓN
Como mucho otros problemas, más de una vía de resolución tiene este. Lo más natural, según lo parece, sería determinar el valor del parámetro \,a\, a partir de los datos proporcionados y de allí proceder al cálculo pedido.
No obstante, existe otra forma, aparentemente compleja y engorrosa, que conduce a un resultado bastante compacto y, a decir verdad, muy elegante. Aquí nos hemos decantado por este método.
El objetivo es hallar el valor de
\begin{equation}
\displaystyle f\left(\frac32\right)=a^{3/2}+a^{-3/2}
\end{equation}Ahora bien, en el entendido de que resulta mucho más sencillo manipular expresiones con exponentes no fraccionarios, pudiéramos tratar de calcular en su lugar, la cantidad
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\left(a^{3/2}+a^{-3/2}\right)^2&=&a^3+a^{-3}+2
\end{array}
\end{equation}Así escrita, poco parece que hemos conseguido; empero, podemos hallar una expresión para una suma de cubos a partir del desarrollo del cubo de un binomio.
En efecto, para dos números reales cualesquiera, \,x\, e \,y\,
\def\arraystretch{1.9}
\begin{array}{rcl}
\left(x+y\right)^3&=&x^3+y^3+3x^2y+3xy^2\\
&=&x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\Rightarrow\\
x^3+y^3&=&\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)
\end{array}De aquí se sigue que
\begin{equation}
\def\arraystretch{1.9}
\begin{array}{rcl}
a^3+a^{-3}&=&a^3+\left(a^{-1}\right)^3\\
&=&\left(a+a^{-1}\right)^3-3\left(a+a^{-1}\right)
\end{array}
\end{equation}Y, en consecuencia, podemos escribir
\begin{equation}
\displaystyle f\left(\frac 32\right)=\sqrt{\left(a+a^{-1}\right)^3-3\left(a+a^{-1}\right)+2}
\end{equation}Nos preguntamos ahora por el valor de la magnitud \,a+a^{-1}\,. A la luz de lo expuesto, bien pudiéramos hallarlo a partir de la información dada en el enunciado si seguimos un procedimiento análogo.
Veámoslo
\def\arraystretch{1.9}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle f\left(\frac23\right)&=&a^{2/3}+a^{-2/3}\\
&=&\left(a^{1/3}\right)^2+\left(a^{-1/3}\right)^2\\
\end{array}De nuevo, si consideramos que, para x,y\in\mathbb{R},
\def\arraystretch{1.9}
\begin{array}{rcl}
\left(x+y\right)^2&=&x^2+y^2+2xy\Rightarrow\\
x^2+y^2&=&\left(x+y\right)^2-2xy
\end{array}entonces
\def\arraystretch{1.9}
\begin{array}{rcl}
\left(a^{1/3}\right)^2+\left(a^{-1/3}\right)^2&=&\left(a^{1/3}+a^{-1/3}\right)^2-2
\end{array}Pero
\def\arraystretch{1.9}
\begin{array}{rcl}
\left(a^{1/3}+a^{-1/3}\right)^2-2&=&1+2\sqrt{2}\;\Rightarrow\\
\left(a^{1/3}+a^{-1/3}\right)^2&=&1+2\sqrt{2}+2\\
&=&\left(1+\sqrt{2}\right)^2\Leftrightarrow\\
a^{1/3}+a^{-1/3}&=&1+\sqrt{2}
\end{array}Luego, elevando al cubo ambos miembros de esta última igualdad, queda
\def\arraystretch{1.9}
\begin{array}{rcl}
\left(a^{1/3}+a^{-1/3}\right)^3&=&\left(1+\sqrt{2}\right)^3\Rightarrow\\
a+a^{-1}+3\left(a^{1/3}+a^{-1/3}\right)&=&\left(1+\sqrt{2}\right)^3\Rightarrow\\
a+a^{-1}+3\left(1+\sqrt{2}\right)&=&\left(1+\sqrt{2}\right)^3\Rightarrow\\
a+a^{-1}&=&\left(1+\sqrt{2}\right)^3-3\left(1+\sqrt{2}\right)\\
&=&\left(1+\sqrt{2}\right)\left[\left(1+\sqrt{2}\right)^2-3\right]\\
&=&\left(1+\sqrt{2}\right)\left(3+2\sqrt{2}-3\right)\\
&=&2\sqrt{2}\left(1+\sqrt{2}\right)\\
&=&4+2\sqrt{2}
\end{array}En este punto no nos resta mas que introducir este resultado en \left(4\right). Para evitar toparnos con expresiones de gran longitud, calcularemos primero el cubo de esta expresión
\def\arraystretch{1.9}
\begin{array}{rcl}
\left(a+a^{-1}\right)^3&=&\left(4+2\sqrt{2}\right)^3\\
&=&64+16\sqrt{2}+24\sqrt{2}\left(4+2\sqrt{2}\right)\\
&=&64+16\sqrt{2}+96\sqrt{2}+96\\
&=&160+112\sqrt{2}
\end{array}Luego
\def\arraystretch{1.9}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle f\left(\frac 32\right)&=&\sqrt{\left(a+a^{-1}\right)^3-3\left(a+a^{-1}\right)+2\;\vphantom{|}}\\
&=&\sqrt{160+112\sqrt{2}-3\left(4+2\sqrt{2}\right)+2\;\vphantom{|}}\\
&=&\sqrt{162+112\sqrt{2}-12-6\sqrt{2}\;\vphantom{|}}\\
&=&\sqrt{150+106\sqrt{2}\;\vphantom{|}}
\end{array}Finalmente, tenemos que
\def\arraystretch{2.3}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac{2024}{401} f\left(\frac 32\right)&=&\displaystyle \frac{2024}{401}\sqrt{150+106\sqrt{2}\;\vphantom{|}}\\
&\cong&87{,}4
\end{array}¡Un poco más de 87 años!
¡Cuánta desdicha! Muchos ni siquiera conseguirán llegar a tan avanzada edad. Por supuesto, esta situación es ficticia, pero sin duda hay gobernantes y élites empresariales que quisieran esto para aquellos sobre quienes se señorean.
