Una tarea asaz sencilla

Un poco de ingenio siempre nos permitirá librar tareas que aparentan rozar la imposibilidad. En esta ocasión nos proponemos hallar uno de los dígitos de una colosal cantidad que proviene del producto de dos potencias.

Por supuesto, pretender hacerlo artesanalmente sería extenuante, y hacerlo con ayuda de un sistema computacional de cálculo numérico, muy poco gratificante.

Exploremos, pues, que podemos hacer.

ACERTIJO

¿Cuánto vale la cifra de las unidades del producto 3^{88}\cdot 7^{87}?

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SOLUCIÓN

Si escribimos unas cuantas potencias de 3, por ejemplo,

\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcl}
    3^1&=&3\\
    3^2&=&9\\
    3^3&=&27\\
    3^4&=&81\\  \hline 
    3^5&=&243\\
    3^6&=&729\\
    3^7&=&2\,187\\ 
    3^8&=&6\,561\\ \hline 
    3^9&=&19\,683\\
    3^{10}&=&59\,049\\
    3^{11}&=&177\,147\\  
    3^{12}&=&531\,441\\ \hline 
    3^{13}&=&1\,594\,323\\
    \vdots&&\vdots
\end{array}

notaremos que todas ellas terminan en 3, 9, 7 o 1, siguiendo ese orden, y repitiéndose dicho patrón cada 4 potencias consecutivas.

Como el exponente 88 es divisible por 4,

\frac{88}{4}=22

entendemos que, de haber continuado la construcción de nuestra tabla, el valor de la potencia buscada se hallaría tras recorrer 22 grupos de 4 potencias consecutivas; es decir, en el último elemento del vigésimo segundo grupo de estas. Luego

\textsf{El dígito de las unidades de } 3^{88} \textsf{ es } 1

Si hacemos lo mismo con el 7,

\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcl}
    7^1&=&7\\
    7^2&=&49\\
    7^3&=&343\\
    7^4&=&2\,401\\ \hline 
    7^5&=&16\,807\\
    7^6&=&117\,649\\
    7^7&=&823\,543\\
    7^8&=&7\,564\,801\\ \hline 
    7^9&=&40\,353\,607\\
    7^{10}&=&282\,475\,249\\
    7^{11}&=&1\,977\,326\,743\\
    7^{12}&=&13\,841\,287\,201\\ \hline
    7^{13}&=&96\,889\,010\,407\\
    \vdots&&\vdots
\end{array}

advertimos que sus potencias terminan en 7, 9, 3 o 1 y que, al igual que en el caso anterior, el patrón se repite cada 4 potencias consecutivas.

El exponente 87 no es divisible por 4, pero podemos escribir (en virtud del algoritmo de la división)

87=21\cdot4+3

de donde se sigue que en la sucesión de potencias de 7, el valor buscado se hallaría tras recorrer 21 grupos de 4 y 3 elementos más del próximo grupo; es decir, que tiene por cifra de las unidades la misma que 7^3,\,7^{7}, 7^{11},\,7^{15},\,\ldots\;.

En consecuencia

\textsf{El dígito de las unidades de } 7^{87} \textsf{ es } 3

Finalmente, como el dígito de las unidades de un producto equivale al producto de los dígitos de las unidades de los factores, tenemos que

\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}\phantom{xxx}\textsf{El dígito de las unidades de } 3^{88}\cdot7^{87} \textsf{ es } 3\vphantom{\Bigg|}\phantom{xxx}\)}

Ofrecemos al lector curioso el valor completo de este producto:

32\,
374\,
263\,
453\,
332\,
914\,
814\,
203\,
277\,
736\,
313\,
061\,
348\, \\
210\,
443\,
945\,
829\,
980\,
975\,
702\,
391\,
578\,
301\,
364\,
051\,
942\,\\
698\,
507\,
594\,
246\,
899\,
422\,
778\,
637\,
894\,
705\,
253\,
174\,
423

Tal y como antes lo anunciamos, la cifra de sus unidades es 3.

Bibliografía consultada:

Linker, D. & Sultan, A. (2016). Mathematics Problem-Solving Challenges for Secondary School Students and Beyond. New Jersey, EE.UU.AA: World Scientific Publishing.