Los maravillosos logaritmos

Se rumora que allá en «los países noruegos»¹, do los acontecimientos surrealistas son pan de todos los días, sus despistados habitantes no pudieron dar con la solución de la bella inecuación que en esta ocasión proponemos.

Sabemos que tal no será el caso de nuestros diestros y aventajados lectores.

Aunque la resolución de ecuaciones o inecuaciones logarítmicas durante la educación secundaria no es, lamentablemente, muy común, este ejercicio es tan completo que constituye un excelente repaso.

PROBLEMA

Se pide hallar los valores de x para los que

\begin{equation}
\log_{2x-2}2+\log_{\left(x-1\right)^2}8\geq2
\end{equation}

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SOLUCIÓN

Para estar definidos los logaritmos, es preciso que las bases satisfagan las condiciones siguientes:

1. 2x-2>0
2. 2x-2\neq 1
3. \left(x-1\right)^2>0
4. \left(x-1\right)^2\neq 1

- El primer apartado se cumple si 2x>2\Leftrightarrow x>1.

- El segundo requiere que 2x\neq3\Rightarrow x\neq\frac32.

- El tercero demanda que x\neq1 (condición ya satisfecha por la restricción x>1).

- El cuarto se verifica si \left|x-1\right|\neq1\Leftrightarrow\left(x-1\neq1\right)\lor\left(x-1\neq-1\right)\Rightarrow x\neq0,\;x\neq2. Claramente, la condición x>1 excluye la primera de estas posibilidades.

En consecuencia, los valores buscados de x habrán de cumplir que

\begin{equation}
x\in\left(1,\frac32\right)\cup\left(\frac32,2\right)\cup\left(2,+\infty\right)
\end{equation}

Ahora bien, en el entendido de que \left(1\right) puede escribirse como

\log_{2x-2}\textcolor{blue}{2^1}+\log_{\left(x-1\right)^2}\textcolor{red}{2^3}\geq2

pareciera instructivo echar mano de la propiedad de cambio de base ²

\begin{equation}
\colorbox{Moccasin}{\(\phantom{xxx}\displaystyle\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}
\end{equation}

para escribir los logaritmos involucrados en base 2.

Así ², tendríamos que

\def\arraystretch{2.25}\begin{array}{rcl}
\log_{2x-2}2&=&\displaystyle\frac{\log_22}{\log_2 {2\left(x-1\right)}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{\log_22+\log_2\left(x-1\right)}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{1+\log_2\left(x-1\right)}
\end{array}

y, similarmente, que

\def\arraystretch{2.25}\begin{array}{rcl}
\log_{\left(x-1\right)^2}8&=&\displaystyle\frac{\log_28}{\log_2 {\left(x-1\right)^2}\vphantom{\Big|}}\\
&=&\displaystyle\frac{3}{2\log_2\left(x-1\right)}\\

\end{array}

de suerte que podríamos expresar \left(1\right) como

\begin{equation}
\displaystyle\frac{1}{1+\log_2\left(x-1\right)}+\displaystyle\frac{3}{2\log_2\left(x-1\right)}\geq2
\end{equation}

O, mejor aún, haciendo el cambio de variable

\begin{equation}
t=\log_2\left(x-1\right)
\end{equation}

obtenemos

\def\arraystretch{3.15}
\begin{array}{lcr}
&\displaystyle\frac{1}{1+t}+\frac{3}{2t}\geq2&\Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow&\displaystyle\frac{1\cdot2t+3\left(1+t\right)-2\cdot2t\left(1+t\right)}{2t\left(1+t\right)}\geq0&\Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow&\displaystyle\frac{2t+3+3t-4t-4t^2}{2t\left(t+1\right)}\geq0&\Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow&\displaystyle\frac{-4t^2+t+3}{2t\left(t+1\right)}\geq0&\Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow&\displaystyle \frac{4t^2-t-3}{2t\left(t+1\right)}\leq0&\Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow&\displaystyle\frac{4\left(t-1\right)\left(t+\frac34\right)}{2t\left(t+1\right)}\leq0&\Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow&\displaystyle\color{MediumPurple}\bm{\frac{2\left(t-1\right)\left(t+\frac34\right)}{t\left(t+1\right)}\leq0}&\\
%\displaystyle\Leftrightarrow&\Leftrightarrow\\
\end{array}

Para resolver esta última inecuación, debemos estudiar los intervalos de signo constante del miembro izquierdo.

El numerador de anula en t=1 y t=-\frac34, mientras que el denominador lo hace en t=0 y t=-1.

Partiendo de esta información podemos construir (usando valores de prueba contenidos en cada uno de los intervalos definidos por estos números) la tabla siguiente:

\def\arraystretch{2}
\small
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
&\left(-\infty,-1\right)&\left(-1,-\frac34\right]&\left[-\frac34,0\right)&\left(0,1\right]&\left[1,+\infty\right)\\ \hline
t-1&-&-&-&-&+\\
t+\frac34&-&-&+&+&+\\
t+1&-&+&+&+&+\\
t&-&-&-&+&+\\\hline
\displaystyle\frac{2\left(t-1\right)\left(t+\frac34\right)}{t\left(t+1\right)}\vphantom{\Bigg|^|}&\textcolor{red}+&\textcolor{blue}-&\textcolor{red}+&\textcolor{blue}-&\textcolor{red}+\\

%&&&&&\\
\end{array}

de donde es inmediato que, para satisfacer la desigualdad,

\begin{equation}
t\in\left(-1,-\frac34\right]\cup\left(0,1\right] %\vphantom{\frac34}
\end{equation}

Si a continuación deshacemos el cambio de variable, obtenemos cuatro nuevas condiciones que habrán de verificarse

1. \log_2\left(x-1\right)>-1=\log_2 2^{-1}=\log_2{\frac12}\vphantom{\Bigg|}.
2. \log_2\left(x-1\right)\leq -\frac34=\log_2 2^{-\frac34}=\log_2{\frac{1}{\sqrt[4\,]{8}}}\vphantom{\Bigg|}.
3. \log_2\left(x-1\right)>0=\log_2 2^{0}=\log_2 1\vphantom{\Bigg|}.
4. \log_2\left(x-1\right)\leq1=\log_2 2^{1}=\log_2 2\vphantom{\Bigg|}.

Y, como el logaritmo es una función monótona creciente, las desigualdades han de ser ciertas también para los argumentos; es decir, que es necesario que

1. x-1>\displaystyle\frac12\Leftrightarrow x>\frac32\vphantom{\Bigg|}.
2. x-1\leq\displaystyle\frac{1}{\sqrt[4\,]{8}}\Leftrightarrow x\leq 1+\frac{1}{\sqrt[4\,]{8}}\vphantom{\Bigg|}.
3. x-1>1\Leftrightarrow x>2\vphantom{\Bigg|}.
4. x-1\leq2\Leftrightarrow x\leq3\vphantom{\Bigg|}.

Lo que significa que ha de cumplirse que

\begin{equation}
x\in\left(\frac32,1+\frac{1}{\sqrt[4\,]{8}}\right]\cup\left(2,3\right]
\end{equation}

Finalmente, si designamos por A al conjunto referido en \left(2\right), que no es mas que el dominio de la función,

A=\left\{x\in\mathbb{R}:\left(1< x <\frac32\right)  \land \left(\frac32< x <2\right)\land\;  x>2\right\}

y por B al aludido en \left(7\right),

B=\left\{x\in\mathbb{R}:\left(\frac32< x \leq\frac{1}{\sqrt[4\,]{8}}\right)  \land \left(2< x \leq3\right)\right\}

entonces, las soluciones buscadas vendrán dadas por

\begin{equation}
A\cap B
\end{equation}

En consecuencia, por ser A\cap B=B, se trata de todas las x reales tales que

\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}\displaystyle x\in\left(\frac32,1+\frac{1}{\sqrt[4\,]{8}}\right]\cup\left(2,3\right]\vphantom{\Bigg|^{\Big|}_{\Big|}}\phantom{xxx}\)}

¹ El lector sabrá identificar bien a la figura de la política que pronunció semejante dislate en días recientes.

² Las propiedades del cambio de base, así como la del logaritmo de un producto y la del logaritmo de una potencia, están bien descritas en el artículo de la Wikipedia sobre logaritmos: https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo

NOTA:

Este problema apareció en bibliografía para la preparación del Examen Estatal Unificado de matemáticas de la federación rusa (y dirigido a estudiantes de bachillerato) en 2022. El lector interesado en practicar con ejercicios similares, puede encontrar abundante material en el canal de YouTube eXtraTeam. La estrategia de resolución de este problema, también presentada allí, es prácticamente idéntica a la que hemos expuesto.