Largas, largas cuentas

Buen propósito de inicio de año es la mente ejercitar sin parar. Y con este espíritu, a nuestros lectores proponemos un interesante (aunque como siempre, sencillo) problema. A primera vista pudiera parecer un asunto manido, pero realmente demanda pensar.

ACERTIJO

¿Cuánto vale la suma de los dígitos de los múltiplos de 25 comprendidos entre el 1 y el 100 000 (ambos inclusive)?

CUIDADO: Se pide la suma de los dígitos que componen a cada uno de los múltiplos, no el valor de la suma de los múltiplos. Por ejemplo, siendo los tres primeros múltiplos 25, 50 y 75, la suma de sus dígitos es

\small 2+5+5+0+7+5=24

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SOLUCIÓN

En ocasiones, cuando las cantidades involucradas en un problema son tan grandes, es oportuno intentar resolver un problema análogo pero «más pequeño», con la esperanza de poder generalizarlo.

Por ejemplo, supongamos que buscamos la suma de todos los dígitos de los múltiplos de 25 entre 1 y 1 000; listarlos es una tarea sencilla. Sin incluir 1 000, y dispuestos en una tabla, serían los siguientes:

\begin{array}{ccc}
c&d&u\\ \hline
\color{LightGray}0&\color{LightGray}0&\color{LightGray}0\\
\color{LightGray}0&2&5\\
\color{LightGray}0&5&0\\
\color{LightGray}0&7&5\\ \hline
1&0&0\\
1&2&5\\
1&5&0\\
1&7&5\\ \hline
2&0&0\\
2&2&5\\
2&5&0\\ 
2&7&5\\ \hline
3&0&0\\
3&2&5\\
3&5&0\\
3&7&5\\ \hline
4&0&0\\
4&2&5\\
4&5&0\\
4&7&5\\ \hline
5&0&0\\
5&2&5\\
5&5&0\\
5&7&5\\ \hline
6&0&0\\
6&2&5\\
6&5&0\\
6&7&5\\ \hline
7&0&0\\
7&2&5\\
7&5&0\\
7&7&5\\ \hline
8&0&0\\
8&2&5\\
8&5&0\\
8&7&5\\ \hline
9&0&0\\
9&2&5\\
9&5&0\\
9&7&5\\
\end{array}

Según se advierte, sumar sus dígitos no requiere de mayor esfuerzo.

De estos múltiplos,

• 20 terminan en 5,
• 10 contienen al 2 como cifra de sus decenas (como también ocurre con el 5 y el 7),
• 4 comienzan con 1, 4 con 2, 4 con 3, 4 con 4, … y el patrón se repite hasta llegar a nueve.

Es decir, que por todos suman

\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{rcl}
S_{_{<\,1\,000}}&=&20\cdot 5 + 10\left(2+5+7\right) + 4\left(1+2+3+\cdots+9\right)\\
&=&100+10\cdot14+4\cdot\displaystyle \frac{9\cdot 10}{2}\\
&=&100+140+180\\
&=&420
\end{array}

Por supuesto, incluir al 1\,000 suma 1, pues 1+0+0+0=1, de forma que

S_{_{1\,000}}=421

La lista anterior seguirá siéndonos útil, pues si a la izquierda de cada una de las 40 filas escribiésemos un 1, estaríamos construyendo todos los múltiplos de 25 entre 1 000 y 2 000, salvo este último.

Esto vale también para cualquier otro número distinto de 1, y sirve a nuestro propósito de encontrar la suma de todos los dígitos que aparezcan; aunque debemos andarnos con cuidado, pues escribir, por ejemplo, un 35, no sumaría 35, sino 8 (pues 3+5=8).

Hacemos notar que la cantidad S_{_{<\,1\,000}}=420\, será un invariante de todos los «miles» que aparezcan. Así, puesto que entre 1 y 100 000 hay cien miles (i.e., cien grupos de mil), sabemos que la suma de los dígitos de las decenas unidades y centenas de todos ellos vale

\begin{equation}
420\cdot100=42\,000
\end{equation}

Por otro lado,

1. Entre 1 000 y 2 000 hay 40 múltiplos de 25 que comienzan con 1.
2. Entre 2 000 y 3 000 hay 40 múltiplos de 25 que comienzan con 2.
3. Entre 3 000 y 4 000 hay 40 múltiplos de 25 que comienzan con 3.
4. Entre 4 000 y 5 000 hay 40 múltiplos de 25 que comienzan con 4.
5. Entre 5 000 y 6 000 hay 40 múltiplos de 25 que comienzan con 5.
6. Entre 6 000 y 7 000 hay 40 múltiplos de 25 que comienzan con 6.
7. Entre 7 000 y 8 000 hay 40 múltiplos de 25 que comienzan con 7.
8. Entre 8 000 y 9 000 hay 40 múltiplos de 25 que comienzan con 8.
9. Entre 9 000 y 10 000 hay 40 múltiplos de 25 que comienzan con 9.
10. Entre 10 000 y 11 000 hay 40 múltiplo de 25 que comienzan con 10, lo que significa que a la suma de los dígitos de la unidades, las decenas y las centenas se debe añadir un 1 (porque 1+0=1).
11. Entre 11 000 y 12 000 hay 40 múltiplo de 25 que comienzan con 11, lo que supone que a la suma de los dígitos de la unidades, las decenas y las centenas habrá de añadirse un 2 (pues 1+1=2 ).
12. Entre 12 000 y 13 000 hay 40 múltiplo de 25 que comienzan con 12, de modo que a la suma de los dígitos de la unidades, las decenas y las centenas se deberá añadir un 3 (ya que 1+2=3 ).

\ldotsy así seguimos hasta llegar al intervalo que va de 99 000 a 100 000, en el que hay 40 múltiplos de 25 que comienzan con 99, lo que significa que a la suma de los dígitos de la unidades, las decenas y las centenas se debe añadir un 18 (porque 9+9=18).

Por no dejar en zozobra al lector, podemos organizar lo descrito a partir del índice décimo en una tabla que contenga todos los valores de las sumas de los dígitos de las unidades y decenas de millar. La primera columna contendrá los valores por añadir a los números que comienzan con 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 y 19, la segunda, los asociados a los que comienzan por 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 y 29, y así sucesivamente.

\begin{array}{cccccccccc}
1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
3&4&5&6&7&8&9&10&11\\
4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
5&6&7&8&9&10&11&12&13\\
6&7&8&9&10&11&12&13&14\\
7&8&9&10&11&12&13&14&15\\
8&9&10&11&12&13&14&15&16\\
9&10&11&12&13&14&15&16&17\\
10&11&12&13&14&15&16&17&18\\
\end{array}

Sumar estas cantidades no es difícil. De hecho, el lector puede comprobar que usando la notación sigma, dicha suma se reduce a

19\sum^{9}_{k=1}k=855

Como cada una de las sumas referidas aparecerá 40 veces, multiplicamos por 40 y obtenemos

\begin{equation}
855\cdot 40 = 34\,200
\end{equation}

Cantidad a la que debemos añadir la suma proveniente de lo descrito en los apartados \texttt{1-9}

\begin{equation}
40\cdot(1+2+\cdots+9)=1\,800
\end{equation}

De esta forma la suma de todos los dígitos de los múltiplos de 25 menores que 100000 vale

\begin{equation}
42\,000+34\,200+1\,800= 78\,000
\end{equation}

Finalmente, si añadimos el 1 que resulta de incluir al 100 000, la suma pedida vale

\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}78\,001\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}

Bibliografía consultada:

Linker, D. & Sultan, A. (2016). Mathematics Problem-Solving Challenges for Secondary School Students and Beyond. New Jersey, EE.UU.AA: World Scientific Publishing.