Quizás de entre nuestros lectores, algunos habrán tenido la oportunidad de jugar en su niñez con un espirógrafo: un artefacto que permite generar hermosos diseños geométricos.
Ruletas
Las curvas cíclicas que con él se pueden trazar suelen denominarse ruletas y pueden agruparse en dos categorías: epitrocoides o hipotrocoides.
En la animación siguiente consideramos algunos ejemplos:
La matemática que hay detrás de ellas es sencilla, aunque sutil. Enseguida presentamos una explicación animada sobre su construcción (desde un punto de vista vectorial). ¡Esperamos que la disfruten!
Epitrocoides
El último caso pudiera entenderse como una representación gráfica de la irracionalidad de \pi. Ninguno de los nuevos trazos será coincidente con alguno previo, pues \pi no tiene representación decimal periódica.
Hipotrocoides
A propósito, las dos últimas curvas podían trazarse con un espirógrafo comercializado en la URSS en 1980.1
Y, ¿qué hay de los anillos dentados?
Si bien en las animaciones presentadas usamos circunferencias en vez de los típicos adminículos con forma de engrane, la conexión entre ambos casos es inmediata.
Cada aro del espirógrafo tiene un número entero de dientes que es proporcional a la longitud de su radio. Si el fijo tuviese, por ejemplo, \,m\, dientes, y el móvil, \,n\,, se cumpliría que
\begin{equation}
\frac mn=\frac Rr
\end{equation}de modo que las parametrizaciones descritas podrían escribirse como
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{rcl}
x\left(t\right)&=&r\displaystyle\left(\frac{m}{n}+1\right)\cos{\omega t} + h\cos{\left(\left(\displaystyle\frac{m}{n}+1\right)\omega t +\varphi^{}_0\right)}\vphantom{\Bigg|_{|}} \\
y\left(t\right)&=&r\displaystyle\left(\frac{m}{n}+1\right) \mathrm{sen}\,\omega t + h\,\mathrm{sen}\left(\left(\displaystyle\frac{m}{n}+1\right)\omega t +\varphi^{}_0\right)\vphantom{\Bigg|_{|}}
\end{array}
\right\}
\end{equation}para el caso de las epitrocoides, y
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{rcl}
x\left(t\right)&=&r\displaystyle\left(\frac{m}{n}-1\right)\cos{\omega t} + h\cos{\left(\left(\displaystyle\frac{m}{n}-1\right)\omega t -\varphi^{}_0\right)}\vphantom{\Bigg|_{|}} \\
y\left(t\right)&=&r\displaystyle\left(\frac{m}{n}-1\right) \mathrm{sen}\,\omega t - h\,\mathrm{sen}\left(\left(\displaystyle\frac{m}{n}-1\right)\omega t -\varphi^{}_0\right)\vphantom{\Bigg|_{|}}
\end{array}
\right\}
\end{equation}para el caso de las hipotrocoides.
Algunas simplificaciones adicionales
Finalmente, consideramos oportuno mencionar que es relativamente común encontrar bibliografía en la que por simplificar la notación, se supone2
\begin{array}{rcl}
\omega&=&1\\
\varphi^{}_0&=&\left.\begin{array}{cl}\pi&\small \text{si es una epitrocoide}\vphantom{\Big|}\\ 0&\small\text{si es una hipotrocoide}\vphantom{\Big|}\end{array}\right\}
\end{array}de suerte que las ecuaciones ya referidas devienen en
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{rcl}
x\left(t\right)&=&r\displaystyle\left(\frac{m}{n}+1\right)\cos{\omega t} - h\cos{\left(\left(\displaystyle\frac{m}{n}+1\right) t \right)}\vphantom{\Bigg|_{|}} \\
y\left(t\right)&=&r\displaystyle\left(\frac{m}{n}+1\right) \mathrm{sen}\,\omega t - h\,\mathrm{sen}\left(\left(\displaystyle\frac{m}{n}+1\right) t \right)\vphantom{\Bigg|_{|}}
\end{array}
\right\}
\end{equation}tratándose de epitrocoides, y en
\begin{equation}
\left.
\begin{array}{rcl}
x\left(t\right)&=&r\displaystyle\left(\frac{m}{n}-1\right)\cos{\omega t} + h\cos{\left(\left(\displaystyle\frac{m}{n}-1\right) t \right)}\vphantom{\Bigg|_{|}} \\
y\left(t\right)&=&r\displaystyle\left(\frac{m}{n}-1\right) \mathrm{sen}\,\omega t - h\,\mathrm{sen}\left(\left(\displaystyle\frac{m}{n}-1\right) t \right)\vphantom{\Bigg|_{|}}
\end{array}
\right\}
\end{equation}si se trata de hipotrocoides.
Más aún, si convenimos en introducir una nueva variable
\colorbox{Khaki}{\(\phantom{xxx}\delta = \left.\begin{array}{cl}\phantom{-}1&\small \text{si es una epitrocoide}\vphantom{\Big|}\\ -1&\small\text{si es una hipotrocoide}\vphantom{\Big|}\end{array}\right\}\phantom{xxx}\vphantom{\Big|^{\Big|^{\Big|}}_{\Big|_{\Big|}}}\)}
podemos escribir ambas parametrizaciones en una sola expresión
\begin{equation}
\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}
\left.
\begin{array}{rcl}
x\left(t\right)&=&r\displaystyle\left(\frac{m}{n}+\delta\right)\cos{\omega t} - \delta h\cos{\left(\left(\displaystyle\frac{m}{n}+\delta\right) t \right)}\vphantom{\Bigg|_{|}} \\
y\left(t\right)&=&r\displaystyle\left(\frac{m}{n}+\delta\right) \mathrm{sen}\,\omega t - h\,\mathrm{sen}\left(\left(\displaystyle\frac{m}{n}+\delta\right) t \right)\vphantom{\Bigg|_{|}}
\end{array}
\right\}
\vphantom{\Bigg|^{\Bigg|^{\Bigg|}}_{\Bigg|_{\Bigg|}}}
\)\phantom{xxx}}
\end{equation}
Todas las animaciones han sido realizadas en JMathAnim, una fantástica librería de Java desarrollada por el Dr. David Gutiérrez Rubio.
Fuentes consultadas:
Franco, Ángel. “Curvas cicloidales”. De Curso Interactivo de Física en Internet. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/cinematica/cicloide/cicloidales.html
Sokolov, D. D. “Epicycloid”. De Encyclopedia of Mathematics. http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Epicycloid&oldid=42503
Sokolov, D. D. “Hypocycloid”. De Encyclopedia of Mathematics. http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Hypocycloid&oldid=53709
Weisstein, Eric W. “Epitrochoid.” De MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Epitrochoid.html
Weisstein, Eric W. “Epicycloid.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Epicycloid.html
Weisstein, Eric W. “Hypotrochoid.” De MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Hypotrochoid.html
Weisstein, Eric W. “Hypocycloid.” De MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Hypocycloid.html
1 Según se reza en el apartado de ejemplos del artículo de la Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Espir%C3%B3grafo
2 Admitiendo que las unidades de las magnitudes referidas son las del SI.
