Las cantidades que nos ocupan en esta ocasión son colosales y pretendemos discernir cuál es más grande. ¿Podrías ayudarnos?
ACERTIJO
\color{MediumSlateBlue}\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{l} \large \texttt{Dificultad: 1 / 5.}\\ \large\texttt{Temas: aritmética.}\end{array}De entre los números 999! y 500^{999}, ¿cuál es el mayor?
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SOLUCIÓN
Una buena forma de comparar cantidades consiste en calcular su cociente. Si este es menor que la unidad, el número del denominador es mayor que el del numerador. Por el contrario, si resulta ser superior a la unidad, la cantidad del numerador es mayor que la del denominador.
Así, podemos poner
\small
\def\arraystretch{3.5}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{999!}{500^{999}\vphantom{\big|}}&=&\displaystyle\frac{999}{500}\cdot\frac{998}{500}\cdot\frac{997}{500}\cdot\ldots\cdot\frac{3}{500}\cdot\frac{2}{500}\cdot\frac{1}{500}\\
&=&\displaystyle\frac{500+499}{500}\cdot\frac{500+498}{500}\cdot\frac{500+497}{500}\cdot\ldots\cdot\frac{500-497}{500}\cdot\frac{500-498}{500}\cdot\frac{500-499}{500}\\
&=&\displaystyle\left(1+\frac{499}{500}\right)\left(1+\frac{498}{500}\right)\left(1+\frac{497}{500}\right)\cdot\ldots \cdot\left(1-\frac{497}{500}\right)\left(1-\frac{498}{500}\right)\left(1-\frac{499}{500}\right)\\
&=&\displaystyle\left(1+\frac{499}{500}\right)\left(1-\frac{499}{500}\right)\left(1+\frac{498}{500}\right)\left(1-\frac{498}{500}\right)\left(1+\frac{497}{500}\right)\left(1-\frac{497}{500}\right)\cdots \\
&=&\displaystyle\left[1-\left(\frac{499}{500}\right)^2\right]\left[1-\left(\frac{498}{500}\right)^2\right]\left[1-\left(\frac{497}{500}\right)^2\right]\times\cdots\times\\
& &\times\displaystyle\left[1-\left(\frac{3}{500}\right)^2\right]\left[1-\left(\frac{2}{500}\right)^2\right]\left[1-\left(\frac{1}{500}\right)^2\right]\cdot 1
\end{array}Como todas las fracciones entre paréntesis tienen cociente menor que 1, tenemos una serie de productos de cantidades que son también menores que 1.
En consecuencia el denominador de la fracción de partida es mayor que su numerador; esto es
\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}500^{999}>999!\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}Bibliografía consultada:
Arango, H. (2015). 100 problemas que todo bachiller debe entender y resolver. Antioquia, Colombia: Gobernación de Antioquia (Red Matemática Antioquia)
