Sumerjámonos en el mundo de la resolución analítica de ecuaciones cúbicas con este peculiar e interesante problema de álgebra. ¡Esperamos que lo disfruten!
ACERTIJO
¡Ponte a prueba e inténtalo!
Ansiosos esperamos sus observaciones y sugerencias.
SOLUCIÓN
En la resolución de sistemas de ecuaciones que contienen expresiones no lineales, no es siempre claro cuál debiera ser el punto de partida.
La intuición pareciera dictarnos elevar al cuadrado y al cubo la primera de las ecuaciones y manipular los resultados según convenga.
Así, por ejemplo, elevando al cuadrado ambos miembros de \left(1\right), obtenemos
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
\left(x+y+z\right)^2&=&0^2\,\,\Rightarrow\\
\color{FireBrick}x^2+y^2+z^2\color{d}+2\left(xy+xz+yz\right)&=&0
\end{array}Pero, de acuerdo con \left(2\right), los términos resaltados en rojo valen \color{FireBrick}\,6ab\,, de suerte que podemos escribir
\begin{equation} \tag{4}
xy+xz+yz=-3ab
\end{equation}Similarmente, elevando al cubo ambos miembros de \left(1\right), resulta
\small
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
\left(x+y+z\right)^3&=&0^3\,\,\Rightarrow\\
\color{MediumSlateBlue}x^3+y^3+z^3\color{d}+3\left[x^2\left(y+z\right)+y^2\left(x+z\right)+z^2\left(x+y\right)\right]+6xyz&=&0
\end{array}Y como los términos resaltados en azul valen, en virtud de la ecuación tercera, \color{MediumSlateBlue}\,3\left(a^3+b^3\right), podemos poner
\small
\begin{equation}\tag{5}
\color{Peru}\left[x^2\left(y+z\right)+y^2\left(x+z\right)+z^2\left(x+y\right)\right]\color{d}+2xyz=-\left(a^3+b^3\right)
\end{equation}Más aún, si multiplicamos ambos miembros de \left(4\right) por x+y+z\,, sin perder de vista que x+y+z=0, queda
\small
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
\left(xy+xz+yz\right)\left(x+y+z\right)&=&-3ab\cdot 0\Rightarrow\\
x^2\left(y+z\right)+y^2\left(x+z\right)+z^2\left(x+y\right)+3xyz&=&0
\end{array}de donde se sigue que
\begin{equation}\tag{6}
\color{Peru}x^2\left(y+z\right)+y^2\left(x+z\right)+z^2\left(x+y\right)\color{d}=-3xyz
\end{equation}Al introducir este resultado en \left(5\right), hallamos
\begin{equation}\tag{7}
xyz=a^3+b^3
\end{equation}Llegado este punto, merece la pena considerar el sistema de ecuaciones formado por las expresiones \,\left(1\right)\,, \,\left(4\right)\, y \,\left(7\right)\,:
\begin{equation} \tag{8}
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
x+y+z&=&0\\
xy+xz+yz&=&-3ab\\
xyz&=&\,\,a^3+b^3\\
\end{array}
\color{Gainsboro}
\def\arraystretch{1.8}
\left.\begin{array}{l}
\\
\\
\\
\end{array}\right\}
\end{equation}Este es, cuando menos, llamativo, pues las tres expresiones de los miembros izquierdos no son sino los coeficientes de un polinomio cúbico y mónico de raíces x,\,y\, y \,z.
Para muestra, bástenos considerar el polinomio en la variable \,t\,,
\begin{equation}\tag{9}
P\left(t\right)=\left(t-x\right)\left(t-y\right)\left(t-z\right)
\end{equation}En efecto, desarrollados los productos, la presencia de las tres ecuaciones \left(8\right) nos es develada:
P\left(t\right)=t^3-\left(\color{SeaGreen}x+y+z\color{d}\right)t^2+\left(\color{DarkOrange}xy+xz+yz\color{d}\right)t-\color{BlueViolet}xyzEn particular,
\begin{equation}\tag{10}
P\left(t\right)=t^3-\color{DarkOrange}3ab\color{d}\,t-\color{BlueViolet}\left(a^3+b^3\right)
\end{equation}Y he aquí la clave, pues si hallamos los ceros de P\left(t\right), habremos encontrado los valores de x,\,y\, y \,z.
Para fortuna nuestra, la ecuación
\begin{equation}\tag{11}
t^3-3ab\,t-\left(a^3+b^3\right)=0
\end{equation}es una cúbica reducida (i. e., una cúbica en la que no aparece el término cuadrático) que bien podríamos intentar resolver por el método de Cardano.
El método de Cardano
Prosiguiendo y por simplificar la notación, pondremos
\begin{equation}\tag{12}
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
p&=&-3ab\\
q&=&-\left(a^3+b^3\right)
\end{array}
\end{equation}de suerte que, al introducir ambos resultados en \left(11\right), obtendremos
t^3+p\,t+q=0
o, lo que es lo mismo
\begin{equation}\tag{13}
t^3=-p\,t-q
\end{equation}Es aquí donde utilizaremos las ideas desarrolladas por los brillantes matemáticos italianos Scipione del Ferro y Niccolò Fontana (Tartaglia), publicadas más tarde por Gerolamo Cardano.
Comencemos, pues, por el ingenioso cambio de variable
\begin{equation}\tag{14}
t = u+v
\end{equation}cuya utilidad se hará patente en breve.
Si elevamos al cubo ambos miembros de esta igualdad, obtenemos
\begin{equation}\tag{15}
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
t^3&=&\left(u+v\right)^3\\
&=&u^3+3u^2v+3uv^2+v^3\\
&=&u^3+3uv\left(u+v\right)+v^3\\
&=&3uv\,t+u^3+v^3
\end{array}
\end{equation}Y, por comparación con \left(13\right), ha de cumplirse que
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
3uv&=&-p\\
u^3+v^3&=&-q
\end{array}
\def\arraystretch{1.6}
\color{Gainsboro}
\left.\begin{array}{c}
\\
\\
\end{array}\right\}o, equivalentemente
\begin{equation}\tag{16}
\def\arraystretch{2.5}
\begin{array}{rcl}
u^3v^3&=&\displaystyle-\frac{\,\,p^3}{27}\\
u^3+v^3&=&-q
\end{array}
\def\arraystretch{2}
\color{Gainsboro}
\left.\begin{array}{c}
\\
\\
\end{array}\right\}
\end{equation}Aunque en apariencia, tras este último paso no hemos sino complicando las cosas, nuestro objetivo quedará clarificado al recordar que si r_1 y r_2 son raíces del polinomio de segundo grado x^2+bx+c, entonces
\def\arraystretch{2.5}
\begin{array}{rcl}
x^2+bx+c&=&\left(x-r_1\right)\left(x-r_2\right)\\
&=&x^2-\left(r_1+r_2\right)x+r_1r_2
\end{array}Habiendo comparado ambos miembros de la igualdad, argüimos que
\def\arraystretch{2.2}
\begin{array}{rcl}
r_1r_2&=&c\\
r_1+r_2&=&-b
\end{array}
\def\arraystretch{1.6}
\color{Gainsboro}
\left.\begin{array}{c}
\\
\\
\end{array}\right\}
Y de forma análoga, concluimos que u^3\, y \,v^3 deben ser raíces de la ecuación1
\begin{equation}\tag{17}
\tau^2+q\tau-\displaystyle\frac{\,\,p^3}{27}
\end{equation}De acuerdo con la fórmula cuadrática, tales son
\begin{equation}\tag{18}
\tau_{\pm}=\displaystyle\frac12\left(-q\pm\sqrt{q^2+\frac{\,\,4p^3\,\,\vphantom{\big|}}{27}}\,\right)
\end{equation}Luego, haciendo las asignaciones \tau_{+}=u^3 y\tau_{-}=v^3, tenemos que
u^3=\displaystyle\frac12\left(-q+\sqrt{q^2+\frac{\,\,4p^3\,\,\vphantom{\big|}}{27}}\,\right)y
v^3=\displaystyle\frac12\left(-q-\sqrt{q^2+\frac{\,\,4p^3\,\,\vphantom{\big|}}{27}}\,\right)de donde se sigue que
\begin{equation}\tag{19}
u=\displaystyle\sqrt[3\,\,]{\frac12\left(-q+\sqrt{q^2+\frac{\,\,4p^3\,\,\vphantom{\big|}}{27}}\,\vphantom{\Huge |}\right)}
\end{equation}y
\begin{equation}\tag{20}
v=\displaystyle\sqrt[3\,\,]{\frac12\left(-q-\sqrt{q^2+\frac{\,\,4p^3\,\,\vphantom{\big|}}{27}}\,\vphantom{\Huge |}\right)}
\end{equation}Ahora bien, como
\def\arraystretch{2.3}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle q^2+\frac{\,\,4p^3}{27}&=&\displaystyle\left(a^3+b^3\right)^2+\frac{4}{27}\left(-3ab\right)^3\\
&=&a^6+2a^3b^3+b^6-4a^3b^3\\
&=&a^6-2a^3b^3+b^6\\
&=&\left(a^3-b^3\right)^2
\end{array}entonces
\begin{equation}\tag{21}
\begin{array}{rclcl}
u&=&\displaystyle\sqrt[3\,\,]{\frac{\left(a^3+b^3\right)+\left(a^3-b^3\right)}{2}\,\vphantom{\Bigg |}}&=&a
\end{array}
\end{equation}y
\begin{equation}\tag{22}
\begin{array}{rclcl}
v&=&\displaystyle\sqrt[3\,\,]{\frac{\left(a^3+b^3\right)-\left(a^3-b^3\right)}{2}\,\vphantom{\Bigg |}}&=&b
\end{array}
\end{equation}Consecuentemente, de acuerdo con \left(14\right),
\begin{equation}\tag{23}
\color{MediumOrchid}t=a+b
\end{equation}Este es el primero de los posibles valores de x,\,y\, o \,z e implica, además, que P\left(t\right) es divisible por t-\left(a+b\right).
Para hallar una posible factorización de P\left(t\right) desde la que podamos partir para hallar las raíces restantes, efectuaremos la división larga entre este y el factor referido:
\small
\begin{array}{rr}
&\color{DodgerBlue}\begin{array}{rrrrrrr}\phantom{-}t^2&+&\left(a+b\right)t^{\phantom{2}}&+&\left(a^2-ab+b^2\right)\phantom{t}&\phantom{-}&\phantom{\left(a^3+b^3\right)\,}\vphantom{\Big|}\\\hline\end{array}\\
t-\left(a+b\right)&\begin{array}{|rrrrrrr}\phantom{-}t^3&\phantom{+}&\phantom{\left(a+b\right)t^2}&-&\phantom{a^2-}\phantom{\left(ccc\right)^2}3abt&-&\left(a^3+b^3\right)\vphantom{\Big|}\end{array}\\
&\begin{array}{rrrrrrr}-t^3&+&\left(a+b\right)t^2&\phantom{-}&\phantom{\left(ccc\right)^2}\phantom{a^2-}\phantom{3abt}&\phantom{-}&\phantom{\left(a^3+b^3\right)}\vphantom{\bigg|}\\ \hline\end{array}\\
&\begin{array}{rrrrrrr}\phantom{-t^3}&\phantom{+}&\left(a+b\right)t^2&-&\phantom{a^2-}\phantom{\left(ccc\right)^2}3abt&-&\left(a^3+b^3\right)\vphantom{\Big |}\end{array}\\
&\begin{array}{rrrrrrr}\phantom{-t^3}&-&\left(a+b\right)t^2&+&\phantom{c.a^2-}\left(a+b\right)^2t&\phantom{-}&\phantom{\left(a^3+b^3\right)}\vphantom{\bigg|}\\ \hline\end{array}\\
&\begin{array}{rrrrrrr}\phantom{-t^3}&\phantom{-}&\phantom{\left(a+b\right)t^2}&\phantom{+}&\left(a^2-ab+b^2\right)t&-&\left(a^3+b^3\right)\vphantom{\Big|}\end{array}\\
&\begin{array}{rrrrrrr}\phantom{-t^3}&\phantom{-}&\phantom{\left(a+b\right)t^2}&-&\left(a^2-ab+b^2\right)t&+&\left(a^3+b^3\right)\vphantom{\bigg|}\\ \hline\end{array}\\
&\begin{array}{rrrrrrr}\phantom{-t^3}&\phantom{-}&\phantom{\left(a+b\right)t^2}&\phantom{+}&\phantom{\left(a^2-ab+b^2\right)t}&\phantom{-}&0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vphantom{\Big|}\end{array}\\
\end{array}Así
\begin{equation}\tag{24}
P\left(t\right)=\left[t-\color{MediumOrchid}\left(a+b\right)\color{d}\right]\color{DodgerBlue}\left[t^2+\left(a+b\right)t+\left(a^2-ab+b^2\right)\right]
\end{equation}El segundo de los factores se anula para aquellos valores de t dados por la relación
\small
\def\arraystretch{3}
\begin{array}{rcl}
t&=&\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)\pm\sqrt{\left(a+b\right)^2-4\left(a^2-ab+b^2\right)\,}\,\right]\\
&=&\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)\pm\sqrt{-3a^2+6ab-3b^2\,}\,\right]\\
&=&\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)\pm\sqrt{-3\left(a-b\right)^2\,}\,\right]\\
&=&\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)\pm i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right]\\
\end{array}De aquí concluimos que
\small
\begin{aligned}
P\left(t\right)=\left[t-\left(a+b\right)\right]\left\{t-\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)+ i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right]\right\}\vphantom{\Bigg|}\times\\
\times\left\{t-\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)- i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right]\right\}
\end{aligned}En suma, hemos hallado tres posibles valores de \,t\,:
\small
\begin{equation}\tag{25}
t=
\color{Gainsboro}
\left\{
\color{#666666}
\def\arraystretch{2.5}
\begin{array}{l}
a+b\phantom{\displaystyle\frac{1}{2_{_2}}}\\
\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)+ i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right]\\
\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)- i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right]\vphantom{\Bigg|^{\Big|}}\\
\end{array}\right.
\end{equation}Finalmente y habiendo advertido que las ecuaciones \left(1\right)-\left(3\right) son simétricas, es decir, que entendidas como funciones de las variables x,\,y\, y \,z, v. g.,
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
f_1\left(x,y,z\right)&=&x+y+z\\
f_2\left(x,y,z\right)&=&x^2+y^2+z^2-6ab\\
f_3\left(x,y,z\right)&=&x^3+y^3+z^3-3\left(a^3+b^3\right)\\
\end{array}satisfacen que
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
f_i\left(x,y,z\right)&=f_i\left(x,z,y\right)\\
&=f_i\left(y,x,z\right)\\
&=f_i\left(y,z,x\right)\\
&=f_i\left(z,x,y\right)\\
&=f_i\left(z,y,x\right)\\
\end{array}
\phantom{xxx}i=1,2,3
concluimos que son posibles 6 ternas de soluciones \left(x,y,z\right):
\small
\colorbox{lavender}{\(\phantom{xxx}
\def\arraystretch{3.8}
\begin{array}{c}
\left(\color{Purple}a+b,\color{MediumVioletRed}\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)+ i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right],\color{PaleVioletRed}\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)- i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right]\color{d}\right)\\
\left(\color{Purple}a+b,\color{PaleVioletRed}\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)- i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right],\color{MediumVioletRed}\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)+ i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right]\color{d}\right)\\
\left(\color{MediumVioletRed}\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)+ i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right], \color{Purple}a+b,\color{PaleVioletRed}\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)- i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right]\color{d}\right)\\
\left(\color{MediumVioletRed}\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)+ i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right], \color{PaleVioletRed}\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)- i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right], \color{Purple}a+b\color{d}\right)\\
\left(\color{PaleVioletRed}\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)- i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right], \color{Purple}a+b,\color{MediumVioletRed}\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)+i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right]\color{d}\right)\\
\left(\color{PaleVioletRed}\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)- i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right], \color{MediumVioletRed}\displaystyle\frac12\left[-\left(a+b\right)+ i\sqrt{3\,}\left(a-b\right)\right], \color{Purple}a+b\color{d}\right)_{\phantom{\Bigg|}}\\
\end{array}\phantom{xxx}\)}1 La elección de la variable es indistinta. El haber optado por \tau no obedece a ninguna razón en especial.
