Dado el caso, ¿aceptarías que las matemáticas fuesen tu penitencia? Un castigo de apariencia retadora puede terminar no siéndolo tanto. Acompáñanos nuevamente en la resolución de otro de nuestros brevísimos y sencillos enigmas.
ACERTIJO
\color{Indigo}\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{l}\texttt{Dificultad: 1 / 5.}\\ \texttt{Temas: aritmética.}\end{array}Tras haberse enfadado con su sobrino Mario, el tío Marcelo le obligó, pretendiendo fastidiarle, a hallar las primeras 2 000 cifras decimales que resultan de dividir 1 entre 7.
Para desconcierto de este último, Mario terminó pronto.
¿Cuál es la última cifra que obtuvo?
¡Ponte a prueba e inténtalo!
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SOLUCIÓN
Papel y lápiz bastan para calcular unas cuantas cifras. En efecto, las primeras dieciocho son
\frac17=0{,}142857142857142857...El lector seguramente habrá advertido que este comportamiento se repetirá indefinidamente; es decir que 1/7 admite representación decimal periódica:
\frac17=0{,}\overline{142857\vphantom|}Entendido esto, nos preguntamos cuántos periodos habremos de recorrer para aproximarnos a las 2 000 cifras decimales.
Así pues, siendo 6 la longitud del periodo (es decir, el número de dígitos que lo conforman), al dividir 2 000 entre 6 hallamos un cociente de 333 y resto de 2. Esto significa que tras recorrer 333 períodos aún hará falta avanzar dos dígitos más para hallar la cifra pedida. Luego,
\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}\text{El número final es 4.}\vphantom{\Bigg|}\phantom{xxx}\)}Bibliografía consultada:
Arango, H. (2015). 100 problemas que todo bachiller debe entender y resolver. Antioquia, Colombia: Gobernación de Antioquia (Red Matemática Antioquia).
