¡Cuán estupendo sería resolver todas nuestras rencillas en el cuadrilátero de las matemáticas! Si así fuera, seguramente se evitarían muchos de los rocambolescos espectáculos de dimes y diretes que tan comunes se han vuelto ultimadamente en la vida política del país.
Ni el alto tono, ni la ira manifiesta, ni los elaborados guiones falsarios conseguirán imponer su discurso. El pensamiento crítico siempre triunfará sobre ellos.
Así, en esta ocasión presentamos ante nuestros lectores un sencillo puzle que plantea una situación ficticia de resolución de conflictos usando de números. ¡Esperamos que lo disfruten!
ACERTIJO
¡Ponte a prueba e inténtalo!
Como es costumbre, esperamos gustosos sus comentarios, sugerencias o propuestas alternativas de resolución.
SOLUCIÓN
Con la esperanza de encontrar algún patrón que nos permita simplificar el problema, escribamos la descomposición factorial de los números 8, 12, 18 y 27:
\def \arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
8&=&\color{Tomato}{2}^{\color{666666}3}\\
12&=&\color{Tomato}2\color{666666} ^2\cdot \color{MediumBlue}3\\
18&=&\color{Tomato}2 \color{666666}\cdot \color{MediumBlue}3\color{666666} ^2\\
27&=&\color{MediumBlue}3\color{666666} ^3
\end{array}El hecho de que todos se expresen en términos de 2 o 3 o ambos pareciera ser alentador pues, según lo indica nuestra intuición, esto nos posibilitaría realizar algunos cambios de variables.
A tenor de lo expuesto, nos permitiremos escribir
\def \arraystretch{3}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{8^x+27^x}{12^x+18^x}&=&\displaystyle\frac{\color{Tomato}2\color{666666} ^{3x}+\color{MediumBlue}3\color{666666} ^{3x}}{\color{Tomato}2\color{666666} ^{2x}\cdot \color{MediumBlue}3\color{666666} ^x+\color{Tomato}2\color{666666} ^x\cdot \color{MediumBlue}3\color{666666} ^{2x}}\\
&=&\displaystyle\frac{\left(\color{Tomato}2 \color{666666}^x\right)^3+\left(\color{MediumBlue}3\color{666666} ^x\right)^3}{\color{Tomato}2\color{666666} ^x \cdot \color{MediumBlue}3\color{666666} ^x \left(\color{Tomato}2\color{666666} ^x + \color{MediumBlue}3\color{666666} ^x\right)}
\end{array}Hecho lo cual, la conveniencia de hacer los cambios
\begin{align}
u\phantom{x} & = & 2^x\phantom{\Big|}\\
v\phantom{x} & = & 3^x\phantom{\Big|}
\end{align}se hace evidente.
Luego, en virtud de estos, podemos poner
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{u^3+v^3}{uv\left(u+v\right)}&=&\displaystyle\frac{7}{6}
\end{array}
\end{equation}El numerador es una suma de cubos que, para suerte nuestra, puede factorizarse como sigue
\colorbox{LavenderBlush}{\(\phantom{x}u^3+v^3=\left(u+v\right) \left(u^2-uv+v^2\right)\vphantom{\Big|}\phantom{x}\)}Así,
\def \arraystretch{3}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{\cancel{\left(u+v\right)} \left(u^2-uv+v^2\right)}{\cancel{\left(u+v\right)}uv}&=&\displaystyle\frac{7}{6} \Rightarrow \\
\displaystyle\frac{u^2-uv+v^2}{uv}&=&\displaystyle\frac{7}{6}
\end{array}o, equivalentemente, por la propiedad fundamental de las proporciones
\def \arraystretch{2.5}
\begin{array}{rcl}
6\left(u^2-uv+v^2\right)&=&7uv\Rightarrow\\
6u^2-6uv+6v^2&=&7uv\Rightarrow\\
6u^2-13uv+6v^2&=&0
\end{array}El miembro izquierdo de esta expresión se puede interpretar tanto como un polinomio cuadrático en la variable u, como uno en la variable v. El resultado es inmutable ante nuestra elección.
En consecuencia, el problema se ha reducido a hallar las raíces del polinomio
\begin{equation}
P\left(u\right)=6u^2-13uv+6v^2
\end{equation}Lo haremos aquí usando la tan afamada fórmula cuadrática:
\def \arraystretch{3.3}
\begin{array}{rcl}
u&=&\displaystyle\frac{1}{12}\left(13v\pm\sqrt{149v^2-4\cdot 6\cdot6v^2\phantom{.}\vphantom{\big|}}\right)\\
&=&\displaystyle\frac{1}{12}\left(13v\pm\sqrt{149v^2-144v^2\phantom{.}\vphantom{\big|}}\right)\\
&=&\displaystyle\frac{1}{12}\left(13v\pm\sqrt{25v^2\phantom{.}\vphantom{\big|}}\right)\\
&=&\displaystyle\frac{1}{12}\left(13v\pm5v\right)\\
\end{array}Tenemos así dos posibilidades
\left(\color{LightCoral}u=\displaystyle\frac{2}{3}v\color{666666}\right)\lor\left(\color{MediumSeaGreen}u=\displaystyle\frac{3}{2}v\color{666666}\right)que al deshacer los cambios de variable, dan
\left(\color{LightCoral}2^x=\displaystyle\frac{2}{3}\,3^x\color{666666}\right)\lor\left(\color{MediumSeaGreen}2^x=\displaystyle\frac{3}{2}\,3^x\color{666666}\right)o, lo que es lo mismo,
\displaystyle\left[\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{2}{3}\vphantom{\Huge|}\right]\lor\displaystyle\left[\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{3}{2}\vphantom{\Huge|}\right]En este punto, aunque las soluciones son obvias, x=\pm 1, podemos comprobarlo tomando logaritmos naturales (o de cualquiera otra base) en ambos miembros de cada igualdad
\displaystyle\left(x \ln\frac{2}{3}=\ln\frac{2}{3}\vphantom{\Huge|}\right)\lor\displaystyle\left(x\ln\frac{2}{3}=\ln\frac{3}{2}\vphantom{\Huge|}\right)Resolviendo para x, queda
\displaystyle\left(x =\frac{\ln 2/3}{\ln 2/3}\vphantom{\Huge|}\right)\lor\displaystyle\left(x=\frac{\ln 3/2}{\ln 2/3}\vphantom{\Huge|}\right)La solución de la primera de estas expresiones es trivial, x=1. La segunda es también muy sencilla, basta observar que
\ln \displaystyle\frac{2}{3} = \ln \displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}=-\ln\frac{3}{2}Entonces
x=\frac{\ln 3/2}{\ln 2/3}=-\frac{\ln 3/2}{\ln 3/2}=-1En suma, hemos hallado que los posibles valores de x, son
\begin{equation}
\colorbox{Khaki}{\(\phantom{x}x=\pm1\phantom{x}\vphantom{\Big|}\)}
\end{equation}