Los temores, las sospechas, la frialdad, la reserva, el odio, la traición, se esconden frecuentemente bajo ese velo uniforme y pérfido de la cortesía.
Sin duda, en tiempos de desaires y traiciones, buen bálsamo hallamos en las ecuaciones.
En esta ocasión presentamos ante nuestros lectores un sencillo enigma de geometría básica. ¡Ojalá gusten de él!
ACERTIJO
¡Ponte a prueba e inténtalo!
Esperamos ansiosos sus observaciones, sugerencias y propuestas alternativas de resolución.
SOLUCIÓN
Al examinar el esbozo proporcionado en el vídeo, advertiremos que además de la incógnita de nuestro interés, \,h\,, existe otra cantidad desconocida: la longitud del segmento AD.
Por simplificar la notación, a tal la designaremos por x; es decir
\begin{equation}
\begin{array}{rccl}
x& =&\overline{DA\,} &=&\overline{AD\,}
\end{array}
\end{equation}Hecha esta elección, podemos incorporar algunos rótulos adicionales al esquema en aras de obtener claridad sobre el procedimiento a seguir. Así, y prescindiendo de las unidades, la imagen queda como sigue:
Según se advierte en ella, por tener lados paralelos y ángulos homólogos idénticos,
\triangle EBF \sim \triangle AED
Y dada esta semejanza, nos es posible construir algunas relaciones de proporcionalidad1 entre los segmentos que los conforman. La siguiente, por ejemplo, resultará de suma utilidad
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{\overline{BF}}{\overline{FE}}&=& \displaystyle\frac{\overline{ED}}{\overline{DA}}
\end{array}o, equivalentemente,
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{h-1}{1}&=&\displaystyle\frac{1}{x}
\end{array}
\end{equation}que, resuelta para h, da
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\color{BlueViolet}h&\color{BlueViolet}=&\color{BlueViolet}1+\displaystyle\frac{1}{x}
\end{array}
\end{equation}Volcando ahora nuestra atención al triángulo \triangle ABC, nos percataremos de que, por el teorema de Pitágoras2, se verifica la igualdad
\begin{array}{rcl}
\left(x+1\right)^2+h^2&=&\displaystyle\left(\frac{\sqrt{45\,}}{2}\right)^2
\end{array}de suerte que, al introducir el resultado hallado en \left(3\right) en ella, obtenemos
\def\arraystretch{3.0}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\left(x+1\right)^2+\left(1+\frac{1}{x}\right)^2&=&\displaystyle\left(\frac{\sqrt{45\,}}{2}\right)^2\Rightarrow\\
\displaystyle\left(x+1\right)^2+\left(\frac{x+1}{x}\right)^2&=&\displaystyle\frac{45}{4}\phantom{x^2}\Rightarrow\\
\displaystyle\left(x+1\right)^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)&=&\displaystyle\frac{45}{4}\phantom{x^2}\Rightarrow\\
\displaystyle\left(x+1\right)^2\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)&=&\displaystyle\frac{45}{4}\phantom{x^2}\Rightarrow\\
4\left(x+1\right)^2\left(x^2+1\right)&=&45x^2\phantom{.}\Rightarrow\\
4\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2+1\right)&=&45x^2\phantom{.}\Rightarrow\\
4x^4+8x^3+8x^2+8x+4&=&45x^2\phantom{.}\Rightarrow\\
4x^4+8x^3-37x^2+8x+4&=&0\\
\end{array}Al igual que en el reto de la semana anterior, el problema se reduce a hallar las raíces de un polinomio. En esta ocasión se trata de un polinomio cuártico en la variable x
P\left(x\right)=4x^4+8x^3-37x^2+8x+4
De existir ceros racionales, habrán de ser, según el lema de Gauss, aquellos que resulten de dividir los factores del término independiente, 4, entre los factores del coeficiente principal del polinomio, también 4; esto es3:
\begin{array}{c}
\color{MediumPurple}\pm\displaystyle\frac{1}{4},\,\pm\displaystyle\frac{1}{2},\,\pm1,\,\pm 2,\,\pm4
\end{array}Para comprobar cual de estos diez candidatos es, en efecto, una raíz, lo más sencillo será utilizar la regla de Ruffini.
Como el lector puede verificar fácilmente por su cuenta, solo dos de estos resultan serlo, \,x = 1/2\, y \,x = 2\,. He aquí los algoritmos:
- Para x=1/2
\def \arraystretch{1.5}
\begin{array}{c|rrrrl}
\color{green}\frac{1}{2}&\phantom{-}4&\phantom{-}8&-37&8&\phantom{-}4\\
&&2&5&-16&-4\\
\hline
&4&10&-32&-8&\begin{array}{|r}\,\color{blue}0\\\hline\end{array}
\end{array}- Para x=2
\def \arraystretch{1.5}
\begin{array}{c|rrrl}
\color{green}2&\phantom{-}4&\phantom{.}10&-32&-8\\
&&8&36&\phantom{-}8\\
\hline
&4&18&4&\begin{array}{|r}\,\color{blue}0\\\hline\end{array}
\end{array}Luego, en términos de los factores recién hallados,
P\left(x\right)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\color{DarkMagenta}\left(4x^2+18x+4\right)El término resaltado en magenta también tiene raíces reales pero, como es fácilmente comprobable4, son ambas negativas, contradiciendo el hecho de que x es una distancia y, como tal, por definición, siempre positiva.
En suma, solo son posibles los valores
\colorbox{Khaki}{\(\phantom{xxx}\left(x=\displaystyle\frac{1}{2}\right)\lor\left(x=2\right)\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}Y como h depende del recíproco de x, su mayor valor ha de corresponderse con el menor de esta última; esto es
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
x_{mín}&=&\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array}
\end{equation}Y, consecuentemente
\begin{equation}
\def \arraystretch{1.9}
\begin{array}{rcl}
h_{máx}\left(x\right)&=&h\left(x_{mín}\right)\\
&=&h\left(1/2\right)\\
&=&3
\end{array}
\end{equation}O sea,
\colorbox{LightCyan}{\(\phantom{xxx}h_{máx}= 3\,\,\text{m}\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}1 Este no es sino el teorema de Thales.
2 El teorema de Pitágoras enuncia que, en todo triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. Así, en un triángulo con catetos de longitud b y c e hipotenusa a, se verifica que b^2+c^2=a^2.
3 Para una explicación más detallada sobre los ceros racionales de polinomios, refiérase al siguiente enlace del proyecto OpenStax.
4 Por ejemplo, usando la fórmula cuadrática.
