Las desatinadas cuentas de Berta

La política nacional nunca deja de darnos pintorescos cuadros que quedarán grabados en los anales del disparate. Así, grupos partidistas supuestamente preocupados por una (falsa) falta de contenido matemático en los nuevos libros de texto gratuitos, tienen entre sus filas a personajes que ni siquiera pueden sumar acertadamente.

Sabemos que no es este el caso de nuestros queridos lectores, y esperamos que disfruten de este jocoso y sencillo pasatiempo.

ACERTIJO

\color{RoyalBlue}\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{r}\texttt{Dificultad:1/5.}\\ \texttt{Temas: aritmética, álgebra.}\end{array}

Berta, a quien no se le suelen dar bien los números, compró cierta cantidad de carne a 24 pesos el kilogramo, y la misma cantidad de salchichas a 18 pesos el kilogramo. Enterándose de esto Ingrid - su vivaz y pequeña vecina - le aseveró que de haber dividido el dinero en cantidades iguales entre carne y salchichas habría ganado dos kilogramos en masa total.

Ya en casa, Ingrid contó a sus padres el suceso, preguntándose cómo es que se puede tener tan poca idea de economía doméstica.

¿Podrías decirnos cuánto pagó Berta en total?

¡Ponte a prueba e inténtalo!

Esperamos con gusto tus comentarios y propuestas, ya sea aquí mismo o a través de los perfiles de Instagram, Twitter o Facebook de The Mexico News e, inclusive, por el chat de Telegram. No dudes en participar.

SOLUCIÓN

Llamemos \,x\, a la cantidad de carne (y, consecuentemente, también la de salchichas) comprada. Según se desprende del enunciado, el monto gastado en términos de esta variable será

24x+18x=42x

Si designamos ahora por x' la cantidad de carne que puede comprarse con 21x y, similarmente, por y' la cantidad de carne que con 21x puede adquirirse, habrá de verificarse que

24x'+18y'=42x

O, mejor aún, como

\mathrm{m.c.d}\left(24,18,42\right)=6

podemos dividir entre 6 ambos miembros de la igualdad para obtener

\begin{equation}
    4x'+3y'=7x
\end{equation}

Además, sabemos que las masas involucradas guardan la relación siguiente

\begin{equation}
    x'+y'=2x+2
\end{equation}

Luego, podemos construir un sistema de ecuaciones con estas dos últimas expresiones para determinar x' e y' en términos de x.

En efecto, si restamos de \left(1\right) la ecuación \left(2\right) multiplicada por 4, queda

\begin{equation}
    y'=x+8
\end{equation}

Y al introducir este resultado en \left(1\right), hallamos

\begin{equation}
    x'=x-6
\end{equation}

Más aún, en el entendido de que

\begin{equation}
    24x'=21x=18y'
\end{equation}

podemos reemplazar \left(3\right) o \left(4\right) en cualquiera de las igualdades dadas en \left(5\right) y resolver para x.

Por ejemplo,

\def\arraystretch{1.35}
\begin{array}{rcl}
    24\left(x-6\right)&=&21x\Rightarrow\\
    8\left(x-6\right)&=&7x\Rightarrow\\
    8x-48&=&7x\Rightarrow\\
    x&=&48
\end{array}

Luego, Berta ha comprado

\colorbox{LemonChiffon}{\(\phantom{xxx}\text{48 kg de carne y 48 kg de salchichas.}\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}

y, por lo tanto ha gastado

\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}\$\,\, 2\,016{,}00 \color{LightGray}\textsf{ (MXN)}\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}

Si hubiese atinado a comprar como lo sugirió Ingrid, tendría 56 kilogramos de salchichas y 42 kilogramos de carne; es decir 98 kilogramos de producto, en vez de los 96 que realmente adquirió.

Bibliografía consultada:

Dudeney, H. (1995). Los gatos del hechicero y nuevas diversiones matemáticas. Madrid, España: Juegos & Co. (Zugarto ediciones).