Pongámonos en órbita e iniciemos la n-ésima vuelta de nuestras vidas alrededor del astro rey ejercitando nuestras neuronas.
El acertijo con el que abrimos este año aborda temas que requieren del cálculo diferencial a un nivel elemental (como el enseñado en bachillerato o durante los primeros semestres universitarios). Esperamos que lo disfruten.
ACERTIJO
¡Ponte a prueba e inténtalo!
Ansiamos leer sus comentarios, sugerencias o propuestas alternativas de resolución.
SOLUCIÓN
Como es usual, comenzaremos por expresar en lenguaje algebraico la información proporcionada en el enunciado del problema.
Sea \,p\, el número de roscas aceptables y \,q\,, el de defectuosas. Similarmente, sea \,t_p\, el tiempo de producción y \,t_m\,, el de mantenimiento (ambos medidos en horas).
Claramente
\begin{equation}
t_m+t_p=6
\end{equation}Además, en el supuesto de que en las horas destinadas al mantenimiento no se producen roscones, la cantidad que de estos se elaboran se ajusta al tiempo de producción según la regla
\begin{equation}
p+q=50t_p
\end{equation}Ahora, en el entendido de que
w=\displaystyle\frac{\small\text{tiempo de mantenimiento}}{\small\text{tiempo de trabajo}}podemos escribir
\begin{equation}
w=\displaystyle\frac{\,t_m\,}{6}
\end{equation}Y, de forma análoga, sabiendo que
r=\displaystyle\frac{\small\text{número de roscas defectuosas}}{\small\text{total de roscas producidas}}\times100nos permitiremos poner
\begin{equation}
\begin{array}{rcccl}
r&=&\displaystyle\frac{q}{50t_p}\cdot100&=&\displaystyle\frac{2q}{t_p}\\
\end{array}
\end{equation}Como la variable que deseamos maximizar con relación al tiempo de mantenimiento, \,t_m\,, es el número de roscas insípidas, \,p\,, resulta deseable que todas nuestras expresiones queden en términos de dichas cantidades. La ecuación \left(3\right) satisface ya este requerimiento, w\equiv w\left(t_m\right).
Con \left(4\right) podemos hacer lo propio. En efecto, resolviendo \left(2\right) para \,q\, y \left(1\right) para \,t_p\,, e introduciendo dichas expresiones en aquella, queda
\begin{equation}
\def\arraystretch{3}
\begin{array}{rcl}
r&=&\displaystyle\frac{2\left(50t_p-p\right)}{t_p}\\
&=&\displaystyle\frac{2\left[50\left(6-t_m\right)-p\right]}{6-t_m}\\
&=&\displaystyle\frac{2\left(300-50t_m-p\right)}{6-t_m}
\end{array}
\end{equation}Pero también
\begin{equation}
\def\arraystretch{3}
\begin{array}{rcl}
r&=&30w^2-90w+80\\
&=&30\left(\displaystyle\frac{t_m}{6}\right)^2-90\left(\displaystyle\frac{t_m}{6}\right)+80\\
&=&\displaystyle\frac{5}{6}t^2_m-15t_m+80
\end{array}
\end{equation}de suerte que podemos igualar \left(5\right) y \left(6\right) con el propósito de encontrar una relación para \,p\,:
\def\arraystretch{3}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{2\left(300-50t_m-p\right)}{6-t_m}&=&\displaystyle\frac{5}{6}t^2_m-15t_m+80\Rightarrow\\
300-50t_m-p&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{5}{6}t^2_m-15t_m+80\right)\left(6-t_m\right)\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{6}t^3_m+20t^2_m-170t_m+480\right)\\
&=&\displaystyle-\frac{5}{12}t^3_m+10t^2_m-85t_m+240\Rightarrow\\
-p&=&\displaystyle-\frac{5}{12}t^3_m+10t^2_m-35t_m-60\Rightarrow\\
p&=&\displaystyle\frac{5}{12}t^3_m-10t^2_m+35t_m+60
\end{array}Luego
\begin{equation}
\colorbox{lavender}{\(\phantom{xx}p\left(t_m\right)=\displaystyle\frac{5}{12}t^3_m-10t^2_m+35t_m+60\vphantom{\Bigg|}\phantom{xx}\)}
\end{equation}Esta es la función que hemos de maximizar. Con este propósito, estudiaremos sus puntos críticos, esto es, aquellos para los que su primera derivada es nula.
Así, siendo
\begin{equation}
\displaystyle\frac{d}{dt_m}p\left(t_m\right)=\displaystyle\frac{5}{4}t^2_m-20t_m+35
\end{equation}pretendemos hallar los ceros de la ecuación
\displaystyle\frac{5}{4}t^2_m-20t_m+35=0o, equivalentemente, los de la ecuación1
5t^2_m-80t_m+140=0
Por tratarse de una sencilla expresión cuadrática de una variable, podemos calcularlos utilizando la tan conocida fórmula cuadrática,
\def\arraystretch{3}
\begin{array}{rcl}
t_m&=&\displaystyle\frac{1}{2\cdot5}\left(80\pm\sqrt{6\,400-4\cdot5\cdot140\vphantom{|}}\right)\\
&=&\displaystyle\frac{1}{10}\left(80\pm\sqrt{3\,600\vphantom{|}}\right)\\
&=&\displaystyle\frac{1}{10}\left(80\pm60\right)\\
&=&8\pm6
\end{array}tenemos así, dos posibilidades
\begin{equation}
\left(t_m=2\right)\lor\left(t_m=14\right)
\end{equation}La segunda de estas posibilidades es absurda, pues es preciso que 0\leq t_m <6. Podemos, por tanto, prescindir de ella.
Para corroborar que t_m=2 es realmente un máximo, habría de verificarse que
\displaystyle\frac{d^2p}{dt^2_m}\,\Bigg \lvert_{t_m=2}<0Y, como
\begin{equation}
\displaystyle\frac{d^2p}{dt^2_m}=10t_m-80
\end{equation}entonces
\def\arraystretch{2.5}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{d^2p}{dt^2_m}\,\Bigg \lvert_{t_m=2}&=&10\cdot2-80\\
&=&20-80\\
&=&-60<0\\
\end{array}Cumplido así lo esperado, concluimos que el tiempo de mantenimiento que maximiza la producción de buenas roscas es
\colorbox{Khaki}{\(\phantom{xx}t_m = 2\,\,\text h\vphantom{\Big|}\phantom{xx}\)}Dejamos como ejercicio al lector determinar a cuánto asciende el porcentaje de roscas defectuosas para este valor de \,t_m\,.
1 Obtenida al multiplicar ambos miembros de la igualdad por 4.
