Una tarea tan aparentemente sencilla como caminar de ida y vuelta puede resultar ser colosal y extenuante si no se tiene buena conciencia de la matemática elemental que eja morant jersey original yeezy store near me cheap yeezys cheap yeezys yeezy store near me custom jersey adut toys air jordan 4 buffalo bills jersey lingerie super sexy yeezy store yeezy official wigs for women yeezy sale custom jerseyntraña. Tal terminó siendo el caso de la peculiar y despistada protagonista de este breve enigma, a quien trataron dar una lección por bocazas.
ACERTIJO
\color{BlueViolet} \def \arraystretch{1.3} \begin{array}{r}\texttt{Dificultad: 1 / 5.}\\ \texttt{Temas: aritmética, álgebra.} \end{array}
En un intento por deshacerse un rato de su mi
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tómana prima, Beatriz le sugirió disponer las cincuenta patatas que traía consigo en línea recta sobre el suelo, habiéndose de cumplir algunos pormenores. La distancia entre la primera y la segunda patata sería de un metro, entre la segunda y la tercera habría tres metros, entre la tercera y la cuarta cinco metros, entre la cuarta y la quinta siete metros, y así sucesivamente, con un incremento de dos metros por cada patata que se añadiera.
Luego, debería regresar al inicio de la fila para recogerlas y ponerlas - una a la vez - en un cesto que yacería fijo justo junto a la primera de las patatas.
Si no se tiene en cuenta el viaje que se requiere para colocar las patatas, ¿qué distancia debe recorrer la insoportable prima para recogerlas todas?
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SOLUCIÓN
Una vez acomodadas las patatas, para recoger la primera, claro está, no hay que recorrer distancia alguna. Para depositar la segunda en el cesto habrá de recorrerse un metro de ida y otro de vuelta. Para la tercera, deberá transitarse una distancia de
2\left(1+3\right) \color{LightGray} \phantom{x} \small\mathrm{m}Para la cuarta,
2\left(1+3+5\right) \color{LightGray} \phantom{x} \small\mathrm{m}Para la quinta,
2\left(1+3+5+7\right) \color{LightGray} \phantom{x} \small\mathrm{m}y así sucesivamente.
En aras de conseguir mayor claridad, pudiéramos disponer lo observado en una tabla como la que sigue:
\begin{equation}
\def \arraystretch{1.4}
\begin{array}{ccl}
\color{LightGray}\small\text{patata}&\phantom{=}&\color{LightGray}\small\text{distancia recorrida}\vphantom{\bigg|}\\
2&\phantom{=}&2\cdot 1\\
3&\phantom{=}&2\left(1+3\right)\\
4&\phantom{=}&2\left(1+3+5\right)\\
5&\phantom{=}&2\left(1+3+5+7\right)\\
\vdots&\phantom{=}&\vdots\\
48&\phantom{=}&2\left(1+3+5+7+\cdots+93\right)\\
49&\phantom{=}&2\left(1+3+5+7+\cdots+93+95\right)\\
50&\phantom{=}&2\left(1+3+5+7+\cdots+93+95+97\right)\\
\end{array}
\end{equation}La suma de todas estas distancias dará la longitud buscada. El lector seguramente habrá advertido ya algún patrón que haga de esto una faena simple.
Más claro será dicho patrón si en en vez de considerar el número de patata numerásemos los segmentos transitados; así, por ejemplo, el segmento entre las patatas primera y segunda será el número 1, el que hay entre las patatas segunda y tercera, el 2, el que está entre las patatas tercera y cuarta, el 3, etcétera. Bajo estas consideraciones, la tabla anterior queda como a continuación se expone
\begin{equation}
\small
\def \arraystretch{1.4}
\begin{array}{ccl}
\color{LightGray}\small\text{segmento}&\phantom{=}&\color{LightGray}\small\text{distancia recorrida}\vphantom{\bigg|}\\
\color{Blue}1&\phantom{=}&2\left(2\cdot \color{Blue}1\color{666666}-1\right)\\
\color{MediumVioletRed}2&\phantom{=}&2\left(1+2\cdot\color{MediumVioletRed}2\color{666666}-1\right)\\\
\color{Blue}3&\phantom{=}&2\left(1+2+2\cdot\color{Blue}3\color{666666}-1\right)\\
\color{MediumVioletRed}4&\phantom{=}&2\left(1+3+5+2\cdot\color{MediumVioletRed}4\color{666666}-1\right)\\
\vdots&\phantom{=}&\vdots\\
\color{MediumVioletRed}47&\phantom{=}&2\left(1+3+5+7+\cdots+2\cdot\color{MediumVioletRed}47\color{666666}-1\right)\\
\color{Blue}48&\phantom{=}&2\left(1+3+5+7+\cdots+93+2\cdot\color{Blue}48\color{666666}-1\right)\\
\color{MediumVioletRed}49&\phantom{=}&2\left(1+3+5+7+\cdots+93+95+2\cdot\color{MediumVioletRed}49\color{666666}-1\right)\\
\end{array}
\end{equation}Entendiendo así que se trata de una suma de sumas, pudiéramos echar mano de la notación sigma para simplificar los cálculos. La incógnita es pues el valor de
\begin{equation}
\displaystyle 2\sum_{i=1}^{49}\sum_{j=1}^{i}\left(2j-1\right)
\end{equation}Ahora bien, como1
\def \arraystretch{3.}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \sum_{j=1}^{i}\left(2j-1\right)&=&\displaystyle2\sum_{j=1}^i j-\sum_{j=1}^i 1\\
&=&\displaystyle \cancel{2}\frac{\;i\left(i+1\right)\;}{\cancel 2}-i\\
&=&i^2+\cancel i- \cancel i\\
&=&i^2
\end{array}entonces, \left(3\right) se reduce a
\begin{equation}
\displaystyle 2\sum_{i=1}^{49}i^2
\end{equation}Si bien pudiéramos pretender abordar esta suma con calculadora o con ayuda de algún programa especializado en cálculo numérico, consideraremos más bien el caso general del sumatorio de los primeros n cuadrados,
\begin{equation}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2
\end{equation}Pudiera parecer extraño, pero hallaremos su valor usando n copias de la diferencia de cubos
\begin{equation}
\left(k+1\right)^3-k^3=3k^2+3k+1
\end{equation}evaluadas desde k=1 hasta k=n, para después sumarlas
\small
\def\arraystretch{1.35}
\begin{array}{llcccccccc}
\small\color{LightGray}k=1&&\color{Blue}2^3&-&\color{ForestGreen}1^3&=&3\cdot 1^2&+&3\cdot 1 &+& 1\\
\small\color{LightGray}k=2&&\color{MediumVioletRed}3^3&-&\color{Blue}2^3&=&3\cdot 2^2&+&3\cdot 2 &+& 1\\
\small\color{LightGray}k=3&&\color{Blue}4^3&-&\color{MediumVioletRed}3^3&=&3\cdot 3^2&+&3\cdot 3 &+& 1\\
\small\color{LightGray}k=4&&\color{MediumVioletRed}5^3&-&\color{Blue}4^3&=&3\cdot 4^2&+&3\cdot 4 &+& 1\\
\color{LightGray}\vdots&&\vdots&&\vdots&=&\vdots&&\vdots&&\vdots\\
\small\color{LightGray}k=n-3&&\color{Blue}\left(n-2\right)^3&-&\color{MediumVioletRed}\left(n-3\right)^3&=&3\cdot \left(n-3\right)^2&+&3\cdot \left(n-3\right) &+& 1\\
\small\color{LightGray}k=n-2&&\color{MediumVioletRed}\left(n-1\right)^3&-&\color{Blue}\left(n-2\right)^3&=&3\cdot \left(n-2\right)^2&+&3\cdot \left(n-2\right) &+& 1\\
\small\color{LightGray}k=n-1&&\color{Blue}n^3&-&\color{MediumVioletRed}\left(n-1\right)^3&=&3\cdot \left(n-1\right)^2&+&3\cdot \left(n-1\right) &+& 1\\
\small\color{LightGray}k=n&&\color{ForestGreen}\left(n+1\right)^3&-&\color{Blue}n^3&=&3\cdot n^2&+&3\cdot
n &+& 1 \\ \\\hline
\small\phantom{k=1}\vphantom{\Bigg|^{|^{|}}}&&\color{ForestGreen}\left(n+1\right)^3&-&\color{ForestGreen}1^3&=&\displaystyle 3 \sum_{k=1}^n k^2&+&\displaystyle 3\sum_{k=1}^nk&+&n
\end{array}El lector quizás haya advertido todas las cancelaciones que se producen entre los términos resaltados en azul y violeta. Una suma así suele denominarse telescópica.
Así, pues, tras desarrollar y simplificar el miembro izquierdo y simplificar el segundo término del miembro derecho, obtenemos
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{rcl}
n^3+3n^2+3n&=&\displaystyle 3 \sum_{k=1}^n k^2+3\,\frac{n\left(n+1\right)}{2}+n\\
&=&\displaystyle 3 \sum_{k=1}^n k^2+\,\frac{3n^2+5n}{2}\\
\end{array}de donde se sigue que
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.9}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2&=&\displaystyle\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\
&=&\displaystyle\frac{n\left(2n^2+3n+1\right)}{6}\\
&=&\displaystyle\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\\
\end{array}
\end{equation}Así, en el caso que nos ocupa
\displaystyle 2\sum_{i=1}^{49}i^2=2\cdot\displaystyle\frac{49\cdot 50\cdot 99}{6}= 80\,850\\es decir, que la insoportable prima de Beatriz, debería recorrer
\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}80{\small,}85\phantom{x}\mathrm{km}\phantom{xxx}\vphantom{\Big|}\)}¡No es una tarea menor! Esperamos que haya tenido suerte.
1 La suma del primer término del miembro derecho de esta igualdad es bien conocida y atribuida a Leonard Euler. La hemos discutido ya en el acertijo de Los mezquinos porfiadores de bravatas.
Bibliografía consultada:
Dudeney, H. (1995). Los gatos del hechicero y nuevas diversiones matemáticas. Madrid, España: Juegos & Co. (Zugarto ediciones).
Adams, R. (2009). Cálculo. Madrid, España: Pearson Educación.
