¿Será posible resolver sistemas de 100 ecuaciones y 100 incógnitas fácilmente? Pasemos un agradable rato buscando y descubriendo patrones que harán de esto una tarea sencilla.
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SOLUCIÓN
Una simple inspección basta para advertir que el sistema de 100 \times 100 es satisfecho por la solución trivial:
\left(x_1,\,x_2,\ldots,\,x_{100}\right)=\left(0,\,0,\ldots,\,0\right)Nos preguntamos ahora si esta solución es única (en cuyo caso el sistema es compatible determinado) o si, por el contrario, admite infinitas soluciones (i. e., si es compatible indeterminado).
Para dilucidarlo no será preciso ocuparnos de la resolución completa del sistema, pues será suficiente con calcular su determinante y utilizar el teorema de Rouché-Fröbenius.
El teorema de Rouché-Fröbenius
Definiciones previas
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas
\begin{equation}
\def\arraystretch{1.7}
\begin{array}{ccl}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=&b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=&b_2\\
\phantom{a_{21}x_1+}\vdots&&\vdots\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=&b_n\\
\end{array}
\end{equation}puede ser escrito en notación matricial como
\def\arraystretch{1.3}
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n\\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_n\\
\end{array}
\right)o también como
\def\arraystretch{1.3}
\left(
\begin{array}{cccc|c}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_n\\
\end{array}
\right)Decimos de la primera de estas representaciones, que
A=\def\arraystretch{1.3}
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\
\end{array}
\right)es la matriz de coeficientes del sistema, mientras que los vectores columna que la acompañan son, respectivamente, la matriz de incógnitas y la matriz de términos independientes.
La segunda representación es la llamada matriz ampliada del mismo. Denotamos a esta última por A^{*}.
Llamaremos rango de una matriz A al número de filas o columnas linealmente independientes en ella. En la práctica esto se traduce como la cuantía de filas no nulas en la matriz final equivalente obtenida al aplicar a aquella el método de Gauss.
Si la matriz es cuadrada (i.e., si m=n), puede resultar conveniente deducir su rango a partir de su determinante.
Al elegir \,p\, filas y \,p\, columnas de ella, formaremos un determinante de orden \,p\, llamado menor de orden p. Dícese entonces que el rango de A es el orden del mayor «menor» no nulo obtenido de A, notándolo \mathrm{rg}\,\left(A\right).
Clasificación de los sistemas de ecuaciones
Así pues, el teorema de Rouché-Fröbenius enuncia que
- Si \mathrm{rg}\,\left(A\right)=\mathrm{rg}\,\left(A^{*}\right)=n, el sistema es compatible determinado (solución única).
- Si \mathrm{rg}\,\left(A\right)=\mathrm{rg}\,\left(A^{*}\right)<n, el sistema es compatible indeterminado (soluciones infinitas).
- Si \mathrm{rg}\,\left(A\right)\neq \mathrm{rg}\,\left(A^{*}\right), el sistema es incompatible (no tiene solución).
Caso especial son los sistemas homogéneos (en los que todos los términos independiente son nulos), pues en ellos A y A^{*} son semejantes a efectos del cálculo del rango.
Para visualizarlo bástenos recordar que A^{*} es la matriz A a la que se ha añadido una columna de ceros; luego, el mayor menor no nulo nunca la contendrá, y se verificará siempre, por tanto, que \mathrm{rg}\,\left(A\right)=\mathrm{rg}\,\left(A^{*}\right). Esto supone que los sistemas homogéneos siempre son compatibles:
- Si \mathrm{rg}\,\left(A\right)=\mathrm{rg}\,\left(A^{*}\right)=n, el sistema es compatible determinado y tiene como solución única a la trivial.
- Si \mathrm{rg}\,\left(A\right)=\mathrm{rg}\,\left(A^{*}\right)<n, el sistema es compatible indeterminado.
Sistemas similares de menor orden
Armados de todo este bagaje matemático, comenzaremos por estudiar sistemas con estructuras semejantes a las del problema planteado en el vídeo, pero de orden menor (todo con el mero propósito de encontrar -si lo hay-, algún patrón que nos ahorre tiempo y esfuerzo).
De paso, nuestro estudio nos permitirá dar respuesta a la segunda de las interrogantes planteadas.
Puede que los desarrollos presentados luzcan excesivos y abrumadores, pero en realidad son los mínimos necesarios para develar la belleza que entrañan estos sistemas. Todo sea en aras de la didáctica y el tan noble cometido de la enseñanza.
Si bien el algoritmo presentado no es el único por el que pueden resolverse los determinantes (pues también es posible operar con sus columnas), nos ha parecido una elección fácilmente generalizable.
El caso n=4
El primero de los sistemas con las características referidas tiene cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas; a saber,
\begin{equation}
\def\arraystretch{1.7}
\left.
\begin{array}{rcl}
x_1+x_2+x_3&=&0\\
x_2+x_3+x_4&=&0\\
x_1+x_3+x_4&=&0\\
x_1+x_2+x_4&=&0\\
\end{array}
\color{Gainsboro}\right\}
\end{equation}cuya matriz ampliada asociada es
\begin{equation}
A^*_{4}=
\def\arraystretch{1.3}
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1&1&1&0&0\\
0&1&1&1&0\\
1&0&1&1&0\\
1&1&0&1&0\\
\end{array}
\right)
\end{equation}Tal y como expusimos, siendo \mathrm{rg}\,\left(A\right)=\mathrm{rg}\,\left(A^{*}\right) para los sistemas homogéneos, nos concentraremos en el cálculo del determinante de A_4.
De entre los métodos de resolución de determinantes, elegiremos, por su sencillez, el de triangularización. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
Tanto en este como en los casos restantes denotaremos por \Delta_n al determinante de partida y por F_1, \ldots ,F_n a sus respectivos vectores fila.
Los sucesivos determinantes, obtenidos mediante operaciones elementales entre filas, vendrán representados por \color{Crimson}\Delta^{\left(1\right)}_n,\,\color{Green}\Delta^{\left(2\right)}_n,\,\color{SlateBlue}\Delta^{\left(3\right)}_n,\ldots\,.
De forma similar, \color{Crimson}F^{\left(1\right)}_1,\ldots , F^{\left(1\right)}_n,\,\color{Green}F^{\left(2\right)}_1,\ldots , F^{\left(2\right)}_n,\,\color{SlateBlue}F^{\left(3\right)}_1,\ldots , F^{\left(3\right)}_n\ldots, serán sus vectores fila correspondientes. Ha de tenerse presente que \Delta_n=\Delta^{\left(1\right)}_n=\Delta^{\left(2\right)}_n=\Delta^{\left(3\right)}_n=\cdots.
Así, partiendo de
\begin{equation}
\Delta_4\equiv\det A_4=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{cccc}
1&1&1&0\\
0&1&1&1\\
1&0&1&1\\
1&1&0&1
\end{array}
\right|
\end{equation}nos vemos tentados a restar de las primeras tres filas, la fila inmediata inferior; es decir, a realizar las transformaciones
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(1\right)}_1&=&F_1-F_2\\
F^{\left(1\right)}_2&=&F_2-F_3\\
F^{\left(1\right)}_3&=&F_3-F_4\\
\end{array}para obtener
\Delta^{\left(1\right)}_4=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrr}
1&0&\phantom{-}0&-1\\
-1&1&0&0\\
0&-1&1&0\\
1&1&0&1
\end{array}
\right|Si seguidamente hacemos F^{\left(2\right)}_2=F^{\left(1\right)}_2+F^{\left(1\right)}_1, resulta
\Delta^{\left(2\right)}_4=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrr}
1&0&\phantom{-}0&-1\\
0&1&0&-1\\
0&-1&1&0\\
1&1&0&1
\end{array}
\right|Y, finalmente, tomando
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(3\right)}_3&=&F^{\left(2\right)}_3+F^{\left(2\right)}_2\\
F^{\left(3\right)}_4&=&F^{\left(2\right)}_4-F^{\left(2\right)}_1-F^{\left(2\right)}_2\\
\end{array}obtenemos
\Delta^{\left(3\right)}_4=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrr}
\colorbox{lavender}{\(1\)}&0&0&-1\\
0&\colorbox{lavender}{\(1\)}&0&-1\\
0&0&\colorbox{lavender}{\(1\)}&-1\\
0&0&0&\colorbox{lavender}{\(3\)}
\end{array}
\right|=1\cdot1\cdot1\cdot3=3es decir,
\begin{equation}
\Delta_4=3
\end{equation}Como el rango de la matriz coincide con el número de incógnitas, \,\mathrm{rg}\,\left(A\right)=4\,, este sistema tiene como única solución a la trivial.
El caso n=5
Prosiguiendo con nuestro razonamiento, podemos configurar un sistema de siete ecuaciones y siete incógnitas,
\begin{equation}
\def\arraystretch{1.7}
\left.
\begin{array}{rcl}
x_1+x_2+x_3&=&0\\
x_2+x_3+x_4&=&0\\
x_3+x_4+x_5&=&0\\
x_1+x_4+x_5&=&0\\
x_1+x_2+x_5&=&0\\
\end{array}
\color{Gainsboro}\right\}
\end{equation}con matriz ampliada
\begin{equation}
A^*_{5}=
\def\arraystretch{1.3}
\left(
\begin{array}{ccccc|c}
1&1&1&0&0&0\\
0&1&1&1&0&0\\
0&0&1&1&1&0\\
1&0&0&1&1&0\\
1&1&0&0&1&0\\
\end{array}
\right)
\end{equation}cuyo determinante es
\begin{equation}
\Delta_5\equiv\det A_5=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{ccccc}
1&1&1&0&0\\
0&1&1&1&0\\
0&0&1&1&1\\
1&0&0&1&1\\
1&1&0&0&1\\
\end{array}
\right|
\end{equation}Por su similitud con el caso anterior, procederemos transformando las cuatro primeras filas como sigue:
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(1\right)}_1=F_1-F_2\\
F^{\left(1\right)}_2=F_2-F_3\\
F^{\left(1\right)}_3=F_3-F_4\\
F^{\left(1\right)}_4=F_4-F_5\\
\end{array}Obtenemos así
\Delta^{\left(1\right)}_5=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrr}
1&0&\phantom{-}0&-1&0\\
0&1&0&0&-1\\
-1&0&1&0&0\\
0&-1&0&1&0\\
1&1&0&0&1\\
\end{array}
\right|Si transformamos ahora las tres últimas filas según las relaciones
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(2\right)}_3&=&F^{\left(1\right)}_3+F^{\left(1\right)}_1\\
F^{\left(2\right)}_4&=&F^{\left(1\right)}_4+F^{\left(1\right)}_2\\
F^{\left(2\right)}_5&=&F^{\left(1\right)}_5-F^{\left(1\right)}_1-F^{\left(1\right)}_2\\
\end{array}resulta
\Delta^{\left(2\right)}_5=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrr}
1&0&\phantom{-}0&-1&0\\
0&1&0&0&-1\\
0&0&1&-1&0\\
0&0&0&1&-1\\
0&0&0&1&2\\
\end{array}
\right|Y, finalmente, tomando F^{\left(3\right)}_2=F^{\left(2\right)}_5-F^{\left(2\right)}_4, tenemos que
\Delta^{\left(3\right)}_5=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrr}
\colorbox{lavender}{\(1\)}&0&\phantom{-}0&-1&0\\
0&\colorbox{lavender}{\(1\)}&0&0&-1\\
0&0&\colorbox{lavender}{\(1\)}&-1&0\\
0&0&0&\colorbox{lavender}{\(1\)}&-1\\
0&0&0&0&\colorbox{lavender}{\(3\)}\\
\end{array}
\right|=3De nuevo, ha resultado
\begin{equation}
\Delta_5=3
\end{equation}Este sistema es también compatible determinado y tiene, según el teorema de Rouché-Fröbenius, como única solución a la trivial.
El caso n=6
Puede que el lector suponga que de aquí en más todos los determinantes calculados valdrán 3 y que, por tanto, todos los sistemas de mayor orden serán compatibles determinados, pero veremos enseguida que esto es falaz.
Consideremos, por ejemplo el sistema de seis ecuaciones y seis incógnitas
\begin{equation}
\def\arraystretch{1.7}
\left.
\begin{array}{rcl}
x_1+x_2+x_3&=&0\\
x_2+x_3+x_4&=&0\\
x_3+x_4+x_5&=&0\\
x_4+x_5+x_6&=&0\\
x_1+x_5+x_6&=&0\\
x_1+x_2+x_6&=&0\\
\end{array}
\color{Gainsboro}\right\}
\end{equation}con matriz ampliada
\begin{equation}
A^*_{6}=
\def\arraystretch{1.3}
\left(
\begin{array}{cccccc|c}
1&1&1&0&0&0&0\\
0&1&1&1&0&0&0\\
0&0&1&1&1&0&0\\
0&0&0&1&1&1&0\\
1&0&0&0&1&1&0\\
1&1&0&0&0&1&0\\
\end{array}
\right)
\end{equation}y determinante
\begin{equation}
\Delta_6\equiv\det A_6=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{cccccc}
1&1&1&0&0&0\\
0&1&1&1&0&0\\
0&0&1&1&1&0\\
0&0&0&1&1&1\\
1&0&0&0&1&1\\
1&1&0&0&0&1\\
\end{array}
\right|
\end{equation}Como es usual, comenzaremos por restar de cada fila, salvo la última, la inmediata inferior,
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(1\right)}_1=F_1-F_2\\
F^{\left(1\right)}_2=F_2-F_3\\
F^{\left(1\right)}_3=F_3-F_4\\
F^{\left(1\right)}_4=F_4-F_5\\
F^{\left(1\right)}_5=F_5-F_6\\
\end{array}quedando
\Delta^{\left(1\right)}_6=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrr}
1&0&\phantom{-}0&-1&0&0\\
0&1&0&0&-1&0\\
0&0&1&0&0&-1\\
-1&0&0&1&0&0\\
0&-1&0&0&1&0\\
1&1&0&0&0&1\\
\end{array}
\right|Usando transformaciones análogas a las del caso anterior para las últimas tres filas, i. e.,
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(2\right)}_4&=&F^{\left(1\right)}_4+F^{\left(1\right)}_1\\
F^{\left(2\right)}_5&=&F^{\left(1\right)}_5+F^{\left(1\right)}_2\\
F^{\left(2\right)}_6&=&F^{\left(1\right)}_6-F^{\left(1\right)}_1-F^{\left(1\right)}_2\\
\end{array}obtenemos un determinante con dos filas nulas y que, por lo tanto, valdrá cero
\Delta^{\left(2\right)}_6=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrr}
1&0&0&-1&0&0\\
0&1&0&0&-1&0\\
0&0&1&0&0&-1\\
\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0\\
\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0\\
0&0&0&1&1&1\\
\end{array}
\right|=0es decir,
\begin{equation}
\Delta_6=0
\end{equation}Luego, este sistema admite infinitas soluciones. Dejamos como ejercicio al lector, comprobar que estas son de la forma
\color{SlateBlue}
\def\arraystretch{1.3}
\left(
\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5\\
x_6
\end{array}
\right)
=
\lambda
\left(
\begin{array}{r}
1\\
0\\
-1\\
1\\
0\\
-1
\end{array}
\right)
+\mu
\left(
\begin{array}{r}
0\\
1\\
-1\\
0\\
1\\
-1
\end{array}
\right)
\phantom{xxx}\lambda,\mu\in\mathbb{R}Por supuesto, la solución trivial está entre ellas y ocurre para \,\lambda = \mu = 0\,.
El caso n=7
Habiendo quedado claro cómo construir los sistemas de ecuaciones, de aquí en más omitiremos su escritura para ocuparnos directamente de los determinantes.
En este caso,
\begin{equation}
\Delta_7\equiv\det A_7=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{ccccccc}
1&1&1&0&0&0&0\\
0&1&1&1&0&0&0\\
0&0&1&1&1&0&0\\
0&0&0&1&1&1&0\\
0&0&0&0&1&1&1\\
1&0&0&0&0&1&1\\
1&1&0&0&0&0&1\\
\end{array}
\right|
\end{equation}A partir de ahora comenzamos a advertir algunos patrones que conviene seguir en el proceso de resolución. Así, si el determinante es es de orden n, restaremos de sus primeras n-1 filas, la inmediata inferior. Para n=7, tales transformaciones son
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(1\right)}_1=F_1-F_2\\
F^{\left(1\right)}_2=F_2-F_3\\
F^{\left(1\right)}_3=F_3-F_4\\
F^{\left(1\right)}_4=F_4-F_5\\
F^{\left(1\right)}_5=F_5-F_6\\
F^{\left(1\right)}_6=F_6-F_7\\
\end{array}y dan lugar a la expresión equivalente
\Delta^{\left(1\right)}_7=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrrr}
1&0&\phantom{-}0&-1&0&0&0\\
0&1&0&0&-1&0&0\\
0&0&1&0&0&-1&0\\
0&0&0&1&0&0&-1\\
-1&0&0&0&1&0&0\\
0&-1&0&0&0&1&0\\
1&1&0&0&0&0&1\\
\end{array}
\right|Como seguramente el lector se habrá percatado, las transformaciones sucesivas se concentran en las 3 últimas filas. Pareciera que obedecen también a cierto patrón, aunque de momento no es del todo claro. Tales son
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(2\right)}_5&=&F^{\left(1\right)}_5+F^{\left(1\right)}_1+F^{\left(1\right)}_4\\
F^{\left(2\right)}_6&=&F^{\left(1\right)}_6+F^{\left(1\right)}_2\\
F^{\left(2\right)}_7&=&F^{\left(1\right)}_7-F^{\left(1\right)}_1-F^{\left(1\right)}_2-F^{\left(1\right)}_4\\
\end{array}y nos permiten escribir
\Delta^{\left(2\right)}_7=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrrr}
1&0&0&-1&0&0&0\\
0&1&0&0&-1&0&0\\
0&0&1&0&0&-1&0\\
0&0&0&1&0&0&-1\\
0&0&0&0&1&0&-1\\
0&0&0&0&-1&1&0\\
0&0&0&0&1&0&2\\
\end{array}
\right|Finalmente, haciendo
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(2\right)}_6&=&F^{\left(1\right)}_6+F^{\left(1\right)}_5\\
F^{\left(2\right)}_7&=&F^{\left(1\right)}_7-F^{\left(1\right)}_5\\
\end{array}resulta
\Delta^{\left(3\right)}_7=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrrr}
1&0&0&-1&0&0&0\\
0&1&0&0&-1&0&0\\
0&0&1&0&0&-1&0\\
0&0&0&1&0&0&-1\\
0&0&0&0&1&0&-1\\
0&0&0&0&0&1&-1\\
0&0&0&0&0&0&3\\
\end{array}
\right|=3Obtenemos de nuevo un valor ya familiar
\begin{equation}
\Delta_7=3
\end{equation}El caso n=8
Tal pareciera que conforme aumenta el orden del determinante, más serán las etapas intermedias que nos conducen a su forma triangular, pero como quedará claro en los próximos casos, no será así.
Si
\begin{equation}
\Delta_8\equiv\det A_8=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{cccccccc}
1&1&1&0&0&0&0&0\\
0&1&1&1&0&0&0&0\\
0&0&1&1&1&0&0&0\\
0&0&0&1&1&1&0&0\\
0&0&0&0&1&1&1&0\\
0&0&0&0&0&1&1&1\\
1&0&0&0&0&0&1&1\\
1&1&0&0&0&0&0&1\\
\end{array}
\right|
\end{equation}tomando
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(1\right)}_1=F_1-F_2\\
F^{\left(1\right)}_2=F_2-F_3\\
F^{\left(1\right)}_3=F_3-F_4\\
F^{\left(1\right)}_4=F_4-F_5\\
F^{\left(1\right)}_5=F_5-F_6\\
F^{\left(1\right)}_6=F_6-F_7\\
F^{\left(1\right)}_7=F_7-F_8\\
\end{array}queda
\Delta^{\left(1\right)}_8=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrrrr}
1&0&\phantom{-}0&-1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&-1&0&0&0\\
0&0&1&0&0&-1&0&0\\
0&0&0&1&0&0&-1&0\\
0&0&0&0&1&0&0&-1\\
-1&0&0&0&0&1&0&0\\
0&-1&0&0&0&0&1&0\\
1&1&0&0&0&0&0&1\\
\end{array}
\right|Haciendo ahora
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(2\right)}_6&=&F^{\left(1\right)}_6+F^{\left(1\right)}_1+F^{\left(1\right)}_4\\
F^{\left(2\right)}_7&=&F^{\left(1\right)}_7+F^{\left(1\right)}_2+F^{\left(1\right)}_5\\
F^{\left(2\right)}_8&=&F^{\left(1\right)}_8-F^{\left(1\right)}_1-F^{\left(1\right)}_2-F^{\left(1\right)}_4-F^{\left(1\right)}_5\\
\end{array}hallamos
\Delta^{\left(2\right)}_8=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrrrr}
1&0&0&-1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&-1&0&0&0\\
0&0&1&0&0&-1&0&0\\
0&0&0&1&0&0&-1&0\\
0&0&0&0&1&0&0&-1\\
0&0&0&0&0&1&-1&0\\
0&0&0&0&0&0&1&-1\\
0&0&0&0&0&0&1&2\\
\end{array}
\right|Y, finalmente, efectuando la transformación F^{\left(3\right)}_8=F^{\left(2\right)}_8-F^{\left(2\right)}_7, resulta
\Delta^{\left(3\right)}_8=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrrrr}
1&0&0&-1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&-1&0&0&0\\
0&0&1&0&0&-1&0&0\\
0&0&0&1&0&0&-1&0\\
0&0&0&0&1&0&0&-1\\
0&0&0&0&0&1&-1&0\\
0&0&0&0&0&0&1&-1\\
0&0&0&0&0&0&0&3\\
\end{array}
\right|=3Una vez más,
\begin{equation}
\Delta_8=3
\end{equation}El caso n=9
Si
\begin{equation}
\Delta_9\equiv\det A_9=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{ccccccccc}
1&1&1&0&0&0&0&0&0\\
0&1&1&1&0&0&0&0&0\\
0&0&1&1&1&0&0&0&0\\
0&0&0&1&1&1&0&0&0\\
0&0&0&0&1&1&1&0&0\\
0&0&0&0&0&1&1&1&0\\
0&0&0&0&0&0&1&1&1\\
1&0&0&0&0&0&0&1&1\\
1&1&0&0&0&0&0&0&1\\
\end{array}
\right|
\end{equation}podemos hacer
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(1\right)}_1=F_1-F_2\\
F^{\left(1\right)}_2=F_2-F_3\\
F^{\left(1\right)}_3=F_3-F_4\\
F^{\left(1\right)}_4=F_4-F_5\\
F^{\left(1\right)}_5=F_5-F_6\\
F^{\left(1\right)}_6=F_6-F_7\\
F^{\left(1\right)}_7=F_7-F_8\\
F^{\left(1\right)}_8=F_8-F_9\\
\end{array}para obtener
\Delta^{\left(1\right)}_9=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrrrrr}
1&0&\phantom{-}0&-1&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&-1&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&-1&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&-1&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0&-1&0\\
0&0&0&0&0&1&0&0&-1\\
-1&0&0&0&0&0&1&0&0\\
0&-1&0&0&0&0&0&1&0\\
1&1&0&0&0&0&0&0&1\\
\end{array}
\right|Luego, tomando
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(2\right)}_7&=&F^{\left(1\right)}_7+F^{\left(1\right)}_1+F^{\left(1\right)}_4\\
F^{\left(2\right)}_8&=&F^{\left(1\right)}_8+F^{\left(1\right)}_2+F^{\left(1\right)}_5\\
F^{\left(2\right)}_9&=&F^{\left(1\right)}_9-F^{\left(1\right)}_1-F^{\left(1\right)}_2-F^{\left(1\right)}_4-F^{\left(1\right)}_5\\
\end{array}queda
\Delta^{\left(2\right)}_9=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrrrrr}
1&0&0&-1&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&-1&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&-1&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&-1&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0&-1&0\\
0&0&0&0&0&1&0&0&-1\\
\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0\\
\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0&\color{Red}0\\
0&0&0&0&0&0&1&1&1\\
\end{array}
\right|=0Nos enfrentamos aquí al segundo caso en el que el rango de la matriz resulta ser menor que el número de incógnitas, \mathrm{rg}\,\left(A_8\right)=6<8.
Al ser
\begin{equation}
\Delta_9=0
\end{equation}estamos de nuevo ante un sistema con soluciones infinitas.
Es aquí cuando comenzamos a notar una, de momento aparente, alternancia entre los posibles valores de los determinantes.
El caso n=10
Finalizamos el estudio de casos particulares calculando
\begin{equation}
\Delta_{10}\equiv\det A_{10}=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{cccccccccc}
1&1&1&0&0&0&0&0&0&0\\
0&1&1&1&0&0&0&0&0&0\\
0&0&1&1&1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&1&1&0&0&0&0\\
0&0&0&0&1&1&1&0&0&0\\
0&0&0&0&0&1&1&1&0&0\\
0&0&0&0&0&0&1&1&1&0\\
0&0&0&0&0&0&0&1&1&1\\
1&0&0&0&0&0&0&0&1&1\\
1&1&0&0&0&0&0&0&0&1\\
\end{array}
\right|
\end{equation}De nuevo, en esta primera etapa restaremos de las primeras nueve filas la inmediata inferior, para obtener
\Delta^{\left(1\right)}_{10}=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrrrrrr}
1&0&\phantom{-}0&-1&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&-1&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&-1&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&-1&0&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0&-1&0&0\\
0&0&0&0&0&1&0&0&-1&0\\
0&0&0&0&0&0&1&0&0&-1\\
-1&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\
0&-1&0&0&0&0&0&0&1&0\\
1&1&0&0&0&0&0&0&0&1\\
\end{array}
\right|En una segunda etapa, ya con un patrón a la vista,
- a la antepenúltima fila le sumaremos las filas cuyo índice pertenezca a la sucesión 1,4,7,... siempre que este sea menor que n-2,
- a la penúltima le añadiremos aquellas filas cuyo índice pertenezca a la sucesión 2,5,8,... siempre que este sea menor que n-1, y
- a la última le restaremos todas las filas cuyo índice no sea múltiplo de 3, siempre que este sea menor o igual que n-3.
Para n=10, dichas transformaciones son
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(2\right)}_8&=&F^{\left(1\right)}_8+F^{\left(1\right)}_1+F^{\left(1\right)}_4+F^{\left(1\right)}_7\\
F^{\left(2\right)}_9&=&F^{\left(1\right)}_9+F^{\left(1\right)}_2+F^{\left(1\right)}_5\\
F^{\left(2\right)}_{10}&=&F^{\left(1\right)}_{10}-F^{\left(1\right)}_1-F^{\left(1\right)}_2-F^{\left(1\right)}_4-F^{\left(1\right)}_5-F^{\left(1\right)}_7\\
\end{array}y nos permiten escribir
\Delta^{\left(2\right)}_{10}=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrrrrrr}
1&0&0&-1&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&-1&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&-1&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&-1&0&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0&-1&0&0\\
0&0&0&0&0&1&0&0&-1&0\\
0&0&0&0&0&0&1&0&0&-1\\
0&0&0&0&0&0&0&1&0&-1\\
0&0&0&0&0&0&0&-1&1&0\\
0&0&0&0&0&0&0&1&0&2\\
\end{array}
\right|Como se desprende de la comparación de este caso con algunos de los anteriores, las transformaciones siguientes dependerán del orden de la matriz. En el próximo apartado detallaremos esto.
Tocante al caso que nos ocupa, tomando
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(2\right)}_9&=&F^{\left(1\right)}_9+F^{\left(1\right)}_8\\
F^{\left(2\right)}_{10}&=&F^{\left(1\right)}_{10}-F^{\left(1\right)}_8\\
\end{array}queda
\Delta^{\left(3\right)}_{10}=
\def\arraystretch{1.3}
\left|
\begin{array}{rrrrrrrrrr}
1&0&0&-1&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&-1&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&-1&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&-1&0&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0&-1&0&0\\
0&0&0&0&0&1&0&0&-1&0\\
0&0&0&0&0&0&1&0&0&-1\\
0&0&0&0&0&0&0&1&0&-1\\
0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&3\\
\end{array}
\right|=3Y, por quinta ocasión, obtenemos
\begin{equation}
\Delta_{10}=3
\end{equation}El caso general
Hasta el momento hemos hallado que
\begin{equation}
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{rcl}
\Delta_4&=&3\\
\Delta_5&=&3\\
\Delta_6&=&0\\
\Delta_7&=&3\\
\Delta_8&=&3\\
\Delta_9&=&0\\
\Delta_{10}&=&3\\
\end{array}
\end{equation}Si el lector desarrolla por su cuenta algunos cuantos determinantes más, se convencerá de que
\colorbox{Lavender}
{\( \phantom{xxx^{\Bigg|}}
\Delta_n\equiv\det A_n=
\def\arraystretch{1.5}
\left\{
\begin{array}{rcl}
0&\text{si}&n \mod 3 = 0\\
3&\text{si}&n \mod 3 \neq 0\\
\end{array}
\right. \phantom{xx}A_n\in\mathfrak{M}_{n\times n}\left(\mathbb{N_0}\right),\,n\geq4
\phantom{xxx_{\Bigg|}}
\)}De aquí se sigue también que
- Si n es múltiplo de 3, el sistema será compatible indeterminado.
- Si n no es múltiplo de 3, el sistema tiene como solución única a la trivial.
Como 100 no es un múltiplo de 3, concluimos que la trivial es la solución única del sistema que el apercibido hombre de los numerillos resolvió.
Un algoritmo de resolución
Para finalizar, ofrecemos al lector interesado una forma de algoritmizar el proceso de reducción a la forma triangular para determinantes de orden n,\,\,n\geq5, como los estudiados hasta ahora:
Primeramente, transformaremos las primeras n-1 filas, haciendo
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(1\right)}_i\rightarrow F_i-F_{i+1}& \text{ si }& i=1,2,\ldots,n-1
\end{array}
\end{equation}En segundo lugar, nos ocupamos de las últimas 3 filas transformándolas como sigue:
\begin{equation}
\def\arraystretch{1.8}
\begin{array}{rcl}
F^{\left(2\right)}_{n-2}&\rightarrow& F_{n-2}+\displaystyle\sum_{\substack{i=1\vphantom{|}\\3i< n\vphantom{\big|}}} F_{3i-2}\\
F^{\left(2\right)}_{n-1}&\rightarrow& F_{n-1}+\displaystyle\sum_{\substack{i=1\vphantom{|}\\3i< n-1\vphantom{\big|}}} F_{3i-1}\\
F^{\left(2\right)}_{n}&\rightarrow& F_{n}-\displaystyle\sum_{\substack{i=1\vphantom{|}\\i\leq n-3\vphantom{\big|}\\i\mod 3\neq0\vphantom{\big|}}} F_{3i-1}\\
\end{array}
\end{equation}Por último, y tal como habíamos adelantado, las transformaciones restantes dependerán del índice \,n\,:
Si \,n\in\left\{a_m\right\}\,, con \,a_m=3m+2,\,m=1,2,3\,, entonces habremos de hacer
\begin{equation}
\begin{array}{c}
F^{\left(3\right)}_n\rightarrow F_n-F_{n-1}
\end{array}
\end{equation}Si \,n\in\left\{b_m\right\}\,, con \,b_m=3m+4,\,m=1,2,3\,, entonces habremos de hacer
\begin{equation}
\def\arraystretch{1.9}
\begin{array}{c}
F^{\left(3\right)}_{n-1}\rightarrow F_{n-1}+F_{n-2}\\
F^{\left(3\right)}_{n}\rightarrow F_{n}-F_{n-2}\\
\end{array}
\end{equation}Es este procedimiento por el que en el equipo de The Mexico News hemos calculado el determinante de orden 100.
Si deseamos automatizar los cálculos, pudiéramos escribir, por ejemplo, algunas líneas de código en Maple, tal y como se muestra en la figura siguiente:
Al ejecutarse se comprobará la validez de nuestra conjetura hasta n=100. Por supuesto, el usuario puede cambiar ese parámetro a placer.
