Una suma de aparente intríngulis

Presentamos hoy nuevamente un sencillo desafío de cálculo integral. Como el lector supondrá, un poco de ingenio puede librarnos de un embrollo mayúsculo.

Sin más, permitamos a nuestras cabezas dar vuelo a una multitud de ideas que nos ayuden con esta faena.

PROBLEMA

¿Cuál es el valor de la suma siguiente?

\displaystyle \int_1^e\sqrt{\ln x}\;dx+\int_0^1 e^{x^2}\;dx

¡Ponte a prueba e inténtalo!

Esperamos con gusto tus comentarios y propuestas, ya sea aquí mismo o a través de los perfiles de Instagram, Twitter o Facebook de The Mexico News e, inclusive, por el chat de Telegram. No dudes en participar.

SOLUCIÓN

Al lector bien adiestrado en el cálculo de primitivas, la segunda de las integrales quizás le haya causado un sobresalto al toparse con ella por vez primera.

Algunos acertadamente advertiran su relación con la función error imaginaria¹. Empero, lo curioso de este problema estriba en que al elegir un cambio de variable adecuado, no hará falta alguna que nos ocupemos de su resolución.

En efecto, pongamos

I_1=\displaystyle \int_1^e\sqrt{\ln x}\;dx

e

I_2=\int_0^1 e^{x^2}\;dx

Si para I_1 elegimos el cambio de variable

\begin{equation}
    y=\sqrt{\ln x}
\end{equation}

de donde se desprende que

x=e^{y^2}

y consecuentemente, que

dx=2ye^{y^2}

obtenemos

I_1=\displaystyle \int_0^1 2y^2e^{y^2}dy

Para resolver esta nueva integral usaremos la técnica integración por partes. Un primer vistazo no parece evidenciar cómo es que esta pudiera funcionar, pero si escribimos

\begin{equation}
I_1=\displaystyle \int_0^1 y\cdot 2ye^{y^2}dy
\end{equation}

el camino a seguir se aclara.

Así, y apegándonos a la más usual de las notaciones, elegiremos

\def\arraystretch{1.7}
\begin{array}{rcl}
    u=y&\Rightarrow&du=dy\\
    dv=2ye^{y^2}dy=d\left(e^{y^2}\right)&\Rightarrow&v=e^{y^2}
\end{array}

de modo que

\begin{equation}
\def\arraystretch{2.5}
\begin{array}{rcl}
    I_1&=&\displaystyle ye^{y^2}\bigg |_{y\,=\,0}^{y\,=\,1}-\int_0^{1} e^{y^2}\,dy\\
    &=&e-I_2
\end{array}
\end{equation}

El último paso obedece al hecho de que la variable de integración es muda; así, pese a que I_2 estaba asociada a una función en la variablex, es idéntica a la integral de la misma función en la variable y sobre el mismo intervalo.

En consecuencia, la suma buscada es

I_1+I_2=e-I_2+I_2=e

o, lo que es lo mismo

\colorbox{lavender}{\(\phantom{xxx}\displaystyle \int_1^e\sqrt{\ln x}\;dx+\int_0^1 e^{x^2}\;dx=e\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}

Nótese cómo, en efecto, en ningún momento nos ocupamos del cálculo del segundo sumando.

Bibliografía consultada:

Evnin, A. Yú. (2015). 150 elegantes problemas para futuros matemáticos (con soluciones detalladas). Moscú, Rusia: Krasand (URSS Scientific Books).

^1. Una explicación elegante y pormenorizada sobre la función error puede encontrarse en: https://miscelaneamatematica.org/download/tbl_articulos.pdf2.a71ee757a8409b0a.353930362e706466.pdf. La relación que guarda con la función error imaginaria puede estudiarse de forma breve en el siguiente vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=zorcLisjRUI