Un problema común y de vasta aplicabilidad en numerosas industrias e incluso situaciones cotidianas es el de la optimización de magnitudes. Por ejemplo, pudiéramos desear diseñar una lata de volumen máximo y área mínima con el propósito de ahorrar materiales de fabricación.
El sencillo problema de esta ocasión da cuenta de cómo abordar casos dependientes de una sola variable. Esperamos que disfruten de él.
PROBLEMA
\color{MediumOrchid}\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{l}\texttt{Dificultad: 2/5.}\\ \texttt{Temas: geometría, álgebra vectorial, cálculo diferencial.}\end{array}Si \,A=\left(0,-10,0\right)\, y \,B=\left(2,0,0\right)\,, determínese el punto C sobre la parábola \bold{\mathcal{C}}\left(t\right)=\left(t,t^2,0\right),\,t\in\mathbb{R}\,, que minimiza el área del triángulo \triangle ABC.
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SOLUCIÓN
Comencemos por trazar un boceto que nos permita distinguir cómo lucirán los posibles triángulos cuyos vértices satisfacen las condiciones del enunciado.
En el vídeo dispuesto a la izquierda ilustramos algunas posibilidades. Si la animación no parece estar activada, bastará con pinchar el icono de reproducción.
Tal y como hemos apuntado en otras ocasiones, más de una vía de resolución es siempre posible. En esta ocasión hemos elegido echar mano de las bondades del análisis vectorial.
Así pues, siendo bien conocido el hecho de que el módulo del producto cruz de dos vectores representa el área del paralelogramo determinado por ellos, podemos entender el área de un triángulo como la mitad de la superficie de dicho paralelogramo.
No nos resta más que elegir adecuadamente los vectores correspondientes.
Según se desprende de la Fig. 1, estos son: el vector con origen en A y extremo en B y su símil con origen en A y extremo en C. Con esta elección,
\begin{equation}
A_{_{\triangle ABC}}=\frac12\lVert\,\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\,\rVert
\end{equation}siendo1
\def\arraystretch{1.25}
\begin{array}{rcl}
\overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\vphantom{\Bigg|}\\
&=&\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\-10\\0\end{array}\right)\vphantom{\Bigg|_{\Bigg|}}\\
&=&\left(\begin{array}{c}2\\10\\0\end{array}\right)
\end{array}y
\def\arraystretch{1.25}
\begin{array}{rcl}
\overrightarrow{AC}&=&\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\vphantom{\Bigg|}\\
&=&\left(\begin{array}{c}t\\t^2\\0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\-10\\0\end{array}\right)\vphantom{\Bigg|_{\Bigg|}}\\
&=&\left(\begin{array}{c}t\\t^2+10\\0\end{array}\right)
\end{array}De este modo
\begin{equation}
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\,=\,
\def\arraystretch{1.5}
\left|
\begin{array}{ccc}
\hat{i}&2&t\\
\hat{j}&10&t^2+10\\
\hat{k}&0&0\\
\end{array}
\right|
\end{equation}Por tener la tercera fila 2 ceros, conviene desarrollar el determinante por ella; así
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=
\def\arraystretch{1.5}
\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
\small2t^2-10t+20
\end{array}
\right)Luego
\def\arraystretch{1.9}
\begin{array}{rcl}
\lVert\,\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\,\rVert&=&\sqrt{\left(2t^2-10t+20\right)^2\,}\\
&=&\lvert\,2t^2-10t+20\,\rvert\\
&=&2t^2-10t+20
\end{array}El último resultado deriva del hecho de que 2t^2-10t+20>0\;\forall \,t\in\mathbb{R} (tal y como se concluye al interpretar esta ecuación como la de una parábola2 que, claramente3, no corta al eje \,x\, y cuyo coeficiente principal es positivo, de suerte que se trata de un gráfico convexo sobre el plano xy).
Así, al introducir este resultado en \left(1\right) hallamos que
\begin{equation}
A_{_{\triangle ABC}}\equiv A\left(t\right)=t^2-5t+10
\end{equation}Para determinar el valor de t para el que ésta expresión alcanza su mínimo hemos de estudiar sus extremos, es decir, aquellos valores que satisfagan que
\begin{equation}
\frac{d}{dt}A\left(t\right)=0
\end{equation}En concreto,
\frac{d}{dt}A\left(t\right)=2t-5y
2t-5=0\iff t=\frac52
Más aún, como
\frac{d^2A}{dt^2}\,\Bigg|_{\;t\,=\,5/2}=\;2>0sabemos que en t=5/2 hay un mínimo.
Consecuentemente el punto buscado es
\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}\displaystyle C\left(\frac52,\frac{25}{4},0\right)\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}Dejamos como ejercicio al lector determinar el valor de la superficie de la región triangular en cuestión.
Bibliografía consultada:
Krusemeyer, M., Gilbert, G., Larson, L. (2012). A Mathematical Orchard, Problems and Solutions. Washington, DC (EE.UU.AA): The Mathematical Association of America.
1 \,O\, representa aquí al origen de coordenadas.
2 Nos referimos a la parábola \;\mathcal{C}\left(t\right)=\left(t,2t^2-10t+20,0\right),t\in\mathbb{R}.
3 Pruebe el lector, por ejemplo, hallar el vértice dicha cónica.
