Nos enorgullece presentar por vez primera un desafío relacionado con el cálculo integral. Se trata de una elegante integral que, pese a su aparente sencillez, pudiera provocarnos serios dolores de cabeza. Esperamos que la presencia de la función tangente no haga querer huir a nuestros lectores (o como coloquialmente diríamos, que no terminen saliéndose por la tangente).
PROBLEMA
\def\arraystretch{1.5}\color{DodgerBlue}\begin{array}{l}\texttt{Dificultad:4/5.}\\ \texttt{Temas: álgebra, trigonometría, cálculo integral.}\end{array}
Se pide determinar el valor de
\begin{equation}
I\left(n\right)=\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{\,1+\mathrm{tg}^{\,n}x\,}\phantom{xx},\phantom{x}n\in\mathbb{N}
\end{equation}¡Ponte a prueba e inténtalo!
Esperamos con gusto tus comentarios y propuestas, ya sea aquí mismo o a través de los perfiles de Instagram, Twitter o Facebook de The Mexico News e, inclusive, por el chat de Telegram. No dudes en participar.
SOLUCIÓN
Con gran probabilidad el lector habrá intentado calcular \,I\left(1\right)\, e \,I\left(2\right)\,. Ambas son de fácil resolución (especialmente esta última) y conducen a un mismo resultado: \pi/4.
No obstante, a partir de \,n=3\, la situación tiende a tornarse compleja, y tratar de advertir un posible patrón en los sucesivos valores de \,n\, parece dificultarse.
Problemas como este nos permiten atestiguar la utilidad de un ingenioso cambio de variable. Así, por ejemplo, atendiendo al hecho de que el gráfico de la función cotangente es de la tangente reflejado en el eje de las abscisas y trasladado\,\pi/2\, unidades hacia la derecha, es decir
\mathrm{ctg\,}x=-\mathrm{tg}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)o, equivalentemente, por ser la tangente una función impar
\mathrm{ctg\,}x=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)pudiéramos probar el cambio de variable
\begin{equation}
x=\frac{\pi}{2}-t
\end{equation}Al efectuarlo, queda
I\left(n\right)=-\int_{\pi/2}^{0}\frac{dt}{\,1+\mathrm{ctg}^{\,n}\,t\,}o, mejor aún, invirtiendo los límites de integración,
I\left(n\right)=\int_{0}^{\pi/2}\frac{dt}{\,1+\mathrm{ctg}^{\,n}\,t\,}Aún más, teniendo en cuenta que la variable de integración es «muda», podemos permitirnos escribir
\begin{equation}
I\left(n\right)=\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\,1+\mathrm{ctg}^{\,n}\,x\,}
\end{equation}Luego, al sumar \,\left(1\right)\, y \,\left(3\right)\,, queda
\def\arraystretch{3.2}
\begin{array}{rcl}
2I\left(n\right)&=&\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\,1+\mathrm{tg}^{\,n}\,x\,}+\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\,1+\mathrm{ctg}^{\,n}\,x\,}\\
&=&\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{1}{\,1+\mathrm{tg}^{\,n}\,x\,}+\frac{1}{\,1+\mathrm{ctg}^{\,n}\,x\,}\right)dx\\
&=&\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\,2+\mathrm{tg}^{\,n}\,x+\mathrm{ctg}^{\,n}\,x\,\vphantom{\big|}}{\,2+\mathrm{tg}^{\,n}\,x+\mathrm{ctg}^{\,n}\,x\,\vphantom{\big|}}\,dx\\
&=&\displaystyle\int_0^{\pi/2}dx\\
&=&\displaystyle\frac{\pi}{2}
\end{array}de donde se sigue que
\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}I\left(n\right)=\displaystyle\frac\pi4\phantom{xxx}\vphantom{\Bigg|}\)}con independencia del valor de \,n\,. ¡Sin duda, el cambio elegido resultó ser toda una genialidad!
Bibliografía consultada:
Evnin, A. Yú. (2015). 150 elegantes problemas para futuros matemáticos (con soluciones detalladas). Moscú, Rusia: Krasand (URSS Scientific Books).
