De todos es conocido el alto monto de recursos que se destina desde antaño a la actividad electoral. En las últimas décadas hemos atestiguado descarados derroches y no pocos escándalos. Con todo, mantenemos la esperanza de que la doctrina de la austeridad en los asuntos públicos halle cabida también en este rubro.
PROBLEMA
\def\arraystretch{1.3}\color{#8B1A1A}\begin{array}{l}\texttt{Dificultad:1/5.}\\\texttt{Temas: aritmética, álgebra.}\end{array}El techo de gastos permitidos a los aspirantes a las candidaturas presidenciales asciende, según lo determinado por la autoridad electoral, en millones y aproximadamente, al resultado de la siguiente ecuación
\begin{equation}
\frac14\left(1+\frac1x\right)^{35}
\end{equation}con
\begin{equation}
x=1+\sqrt[5\,]{2}+\sqrt[5\,]{4}+\sqrt[5\,]{8}+\sqrt[5\,]{16}
\end{equation}¿Atinarás a dar con él?
¡Ponte a prueba e inténtalo!
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SOLUCIÓN
Pese a lo aparatoso de la apariencia del problema, unas cuantas manipulaciones nos permiten ver su sencillez. Así, si en vez del signo radical usamos potencias fraccionarias, podemos escribir
\begin{equation}
x=1+2^{1/5}+2^{2/5}+2^{3/5}+2^{4/5}
\end{equation}Ahora bien, como
\frac14\left(1+\frac1x\right)^{35}=\frac14\left(\frac{x+1}{x}\right)^{35}y
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{rcl}
x+1&=&\color{#CD2626}{2}\color{#666666}+2^{1/5}+2^{2/5}+2^{3/5}+2^{4/5}\\
&=&2^{1/5}+2^{2/5}+2^{3/5}+2^{4/5}+\color{#CD2626}2^{5/5}\\
&=&2^{1/5}\left(1+2^{1/5}+2^{2/5}+2^{3/5}+2^{4/5}\right)\\
&=&2^{1/5}x
\end{array}entonces
\def\arraystretch{2.9}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac14\left(\frac{x+1}{x}\right)^{35}&=&\displaystyle\frac14\left(\frac{2^{1/5}\cancel{x}}{\cancel x}\right)^{35}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2^2}\cdot2^{7}\\
&=&2^5\\
&=&32
\end{array}Es decir, que aproximadamente 32 son los millones que cada aspirante tiene permitido desembolsarse. La cantidad exacta autorizada es en realidad superior en un poco más de 2 millones.
Problemas inspirado en:
SQRT. [@mathisstillfun]. (2023, 28 de julio). Saturday Puzzle. [tuit] https://twitter.com/mathisstillfun/status/1682825033259929602
