Al son de la música chiapaneca, proponemos a nuestros lectores un sencillísimo desafío de matemáticas elementales.
Motivemos nuestras mentes y hagamos danzar nuestras neuronas con la dulce melodía numérica que esto supone.
ACERTIJO
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SOLUCIÓN
Al enfrentarnos a problemas que involucran conjuntos (es decir, agrupaciones o colecciones de elementos, cualquiera que sea su naturaleza) y las posibles relaciones que entre ellos pudieran darse, es sobremanera útil representarlos mediante diagramas de círculos solapados.
Convencionalmente, a tales se les llama diagramas de Venn-Euler.
Así, para el caso que nos ocupa, podemos construir un diagrama con 3 círculos, uno por instrumento, que lucirá como el de la Figura 1.
Fig. 1 – Diagrama de Venn-Euler para el problema planteado.
Identificamos en él 7 regiones. Por \,x\, hemos designado a quienes solamente tocan la marimba, por \,y\, a quienes interpretan solo en el contrabajo y por \,z\, a aquellos que son trompetistas estrictos.
Claramente, \,a\, representa a los miembros que son tanto marimberos como contrabajistas, \,b\, a quienes tocan marimba y trompeta, \,c\, a quienes son tanto trompetistas como contrabajistas y \,d\, a aquellos que tocan los tres instrumentos.
Si llamamos \,T\, al total de miembros del conjunto musical, entonces, según lo reza el enunciado del problema
\begin{equation}
\begin{array}{rclcrclcrcl}
x&=&\displaystyle\frac{T}{8}&,&y&=&\displaystyle\frac{T}{7}&,&z&=&\displaystyle\frac{T}{56}
\end{array}
\end{equation}y
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
a+b+c+d&=&80
\end{array}
\end{equation}Por supuesto, el total de músicos ha de ser tal que verifique la relación
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
x+y+z+a+b+c+d&=&T
\end{array}
\end{equation}Al introducir en ella las ecuaciones \left(1\right) y \left(2\right), obtenemos
\def\arraystretch{3}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{T}{8}+\frac{T}{7}+\frac{T}{56}+80&=&T\Rightarrow\\
\displaystyle\left(1-\frac18-\frac17-\frac{1}{56}\right)T&=&80\Rightarrow\\
\displaystyle\frac57 \cdot T&=&80\Rightarrow\\
T&=&\displaystyle\frac{7}{5} \cdot 80\\
&=&112
\end{array}Conocido este valor y a partir de las ecuaciones \left(1\right), concluimos que
\begin{array}{rclcrclcrcl}
x&=&14&,&y&=&16&,&z&=&2
\end{array}Hay entonces, 14 miembros que únicamente son marimberos, 16 que son contrabajistas estrictos y solo 2 que interpretan exclusivamente en la trompeta.
