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Los músicos del parque de la marimba

Al son de la música chiapaneca, proponemos a nuestros lectores un sencillísimo desafío de matemáticas elementales.

Motivemos nuestras mentes y hagamos danzar nuestras neuronas con la dulce melodía numérica que esto supone.

ACERTIJO

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SOLUCIÓN

Al enfrentarnos a problemas que involucran conjuntos (es decir, agrupaciones o colecciones de elementos, cualquiera que sea su naturaleza) y las posibles relaciones que entre ellos pudieran darse, es sobremanera útil representarlos mediante diagramas de círculos solapados.

Convencionalmente, a tales se les llama diagramas de Venn-Euler.

Así, para el caso que nos ocupa, podemos construir un diagrama con 3 círculos, uno por instrumento, que lucirá como el de la Figura 1.


Fig. 1 – Diagrama de Venn-Euler para el problema planteado.

Identificamos en él 7 regiones. Por \,x\, hemos designado a quienes solamente tocan la marimba, por \,y\, a quienes interpretan solo en el contrabajo y por \,z\, a aquellos que son trompetistas estrictos.

Claramente, \,a\, representa a los miembros que son tanto marimberos como contrabajistas, \,b\, a quienes tocan marimba y trompeta, \,c\, a quienes son tanto trompetistas como contrabajistas y \,d\, a aquellos que tocan los tres instrumentos.

Si llamamos \,T\, al total de miembros del conjunto musical, entonces, según lo reza el enunciado del problema

\begin{equation}
\begin{array}{rclcrclcrcl}
          x&=&\displaystyle\frac{T}{8}&,&y&=&\displaystyle\frac{T}{7}&,&z&=&\displaystyle\frac{T}{56}
\end{array}
\end{equation}

y

\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
          a+b+c+d&=&80
\end{array}
\end{equation}

Por supuesto, el total de músicos ha de ser tal que verifique la relación

\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
          x+y+z+a+b+c+d&=&T
\end{array}
\end{equation}

Al introducir en ella las ecuaciones \left(1\right) y \left(2\right), obtenemos

\def\arraystretch{3}
\begin{array}{rcl}
          \displaystyle\frac{T}{8}+\frac{T}{7}+\frac{T}{56}+80&=&T\Rightarrow\\
          \displaystyle\left(1-\frac18-\frac17-\frac{1}{56}\right)T&=&80\Rightarrow\\
          \displaystyle\frac57 \cdot T&=&80\Rightarrow\\
          T&=&\displaystyle\frac{7}{5} \cdot 80\\
          &=&112
\end{array}

Conocido este valor y a partir de las ecuaciones \left(1\right), concluimos que

\begin{array}{rclcrclcrcl}
          x&=&14&,&y&=&16&,&z&=&2
\end{array}

Hay entonces, 14 miembros que únicamente son marimberos, 16 que son contrabajistas estrictos y solo 2 que interpretan exclusivamente en la trompeta.

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