Al son de la música chiapaneca, proponemos a nuestros lectores un sencillísimo desafío de matemáticas elementales.
Motivemos nuestras mentes y hagamos danzar nuestras neuronas con la dulce melodía numérica que esto supone.
ACERTIJO
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SOLUCIÓN
Al enfrentarnos a problemas que involucran conjuntos (es decir, agrupaciones o colecciones de elementos, cualquiera que sea su naturaleza) y las posibles relaciones que entre ellos pudieran darse, es sobremanera útil representarlos mediante diagramas de círculos solapados.
Convencionalmente, a tales se les llama diagramas de Venn-Euler.
Así, para el caso que nos ocupa, podemos construir un diagrama con 3 círculos, uno por instrumento, que lucirá como el de la Figura 1.
Identificamos en él 7 regiones. Por \,x\, hemos designado a quienes solamente tocan la marimba, por \,y\, a quienes interpretan solo en el contrabajo y por \,z\, a aquellos que son trompetistas estrictos.
Claramente, \,a\, representa a los miembros que son tanto marimberos como contrabajistas, \,b\, a quienes tocan marimba y trompeta, \,c\, a quienes son tanto trompetistas como contrabajistas y \,d\, a aquellos que tocan los tres instrumentos.
Si llamamos \,T\, al total de miembros del conjunto musical, entonces, según lo reza el enunciado del problema
\begin{equation} \begin{array}{rclcrclcrcl} x&=&\displaystyle\frac{T}{8}&,&y&=&\displaystyle\frac{T}{7}&,&z&=&\displaystyle\frac{T}{56} \end{array} \end{equation}
y
\begin{equation} \begin{array}{rcl} a+b+c+d&=&80 \end{array} \end{equation}
Por supuesto, el total de músicos ha de ser tal que verifique la relación
\begin{equation} \begin{array}{rcl} x+y+z+a+b+c+d&=&T \end{array} \end{equation}
Al introducir en ella las ecuaciones \left(1\right) y \left(2\right), obtenemos
\def\arraystretch{3} \begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{T}{8}+\frac{T}{7}+\frac{T}{56}+80&=&T\Rightarrow\\ \displaystyle\left(1-\frac18-\frac17-\frac{1}{56}\right)T&=&80\Rightarrow\\ \displaystyle\frac57 \cdot T&=&80\Rightarrow\\ T&=&\displaystyle\frac{7}{5} \cdot 80\\ &=&112 \end{array}
Conocido este valor y a partir de las ecuaciones \left(1\right), concluimos que
\begin{array}{rclcrclcrcl} x&=&14&,&y&=&16&,&z&=&2 \end{array}
Hay entonces, 14 miembros que únicamente son marimberos, 16 que son contrabajistas estrictos y solo 2 que interpretan exclusivamente en la trompeta.