Únetenos por vigésima novena ocasión en la resolución de otro de nuestros sencillos enigmas. Seguro que el zafarrancho aquí narrado te sacará una sonrisa.
ACERTIJO
\def\arraystretch{1.5}\color{DarkRed}\begin{array}{l}\texttt{Dificultad: 1/5.}\\ \texttt{Temas: aritmética, álgebra.}\end{array}
Después de la cena, los cinco niños de una casa encontraron un paquete de confites. Marcelo tomó dos tercios del paquete, Adán le arrebató tres octavos de ellos, y Ricardo atinó a pillarle tres décimos.
Entonces la joven Claudia entró en escena y capturó todo lo que a Marcelo le quedaba, excepto un séptimo, del cual Gerardo consiguió hacerse.
La verdadera diversión recién comenzaba, pues Marcelo y Ricardo se unieron contra Adán, quien tropezó con el parachispas de la chimenea y soltó la mitad de lo que tenía, lo cual fue recogido en partes iguales por Claudia y Gerardo, quienes aguardaban bajo la mesa.
A continuación, Adán saltó sobre Ricardo desde una silla y desparramó todo lo que Ricardo había juntado. De esto, Marcelo obtuvo solo un cuarto, Adán un tercio, Claudia dos séptimos, mientras que Ricardo y Gerardo se dividieron por partes iguales lo que quedada.
Pensaban que la refriega había terminado cuando la intrépida Claudia atacó en dos direcciones al mismo tiempo, desparramando tres cuartos de lo que Adán y Marcelo acaban de adquirir. Los dos últimos, con gran dificultad recobraron cinco octavos en partes iguales, pero los otros tres se llevaron cada cual un tanto igual de lo que quedaba.
Finalmente, convocaron a una tregua y dividieron por partes iguales entre todos el resto del paquete.
¿Cuál es el número más pequeño de confites que pudo haber habido al principio? ¿Cuántos confites obtuvo cada niño?
¡Ponte a prueba e inténtalo!
Esperamos con gusto tus comentarios y propuestas, ya sea aquí mismo o a través de los perfiles de Instagram, Twitter o Facebook de The Mexico News e, inclusive, por el chat de Telegram. No dudes en participar.
SOLUCIÓN
Por simplicidad, llamaremos \,x\, a la cantidad de confites del paquete, y designaremos porA,C,G,M y R a las respectivas porciones en posesión de Adán, Claudia, Gerardo, Marcelo y Ricardo.
Así, la posesión inicial de Marcelo es
\begin{equation}
M=\displaystyle\frac{2}{3}x
\end{equation}Consecuentemente, Adán y Ricardo consiguen de inmediato en su haber
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{c}
A=\displaystyle\frac38\left(\frac23x\right)=\frac14x\\
R=\displaystyle\frac{3}{10}\left(\frac23x\right)=\frac15x\\
\end{array}
\end{equation}De suerte que Marcelo se queda solamente con
\begin{equation}
M=\frac23x-\frac14x-\frac15x=\frac{13}{60}x
\end{equation}Al entrar Claudia en escena, logra apropiarse, salvo por un séptimo, de todo lo que fue de Marcelo; es decir
\begin{equation}
C=\frac67\left(\frac{13}{60}x\right)=\frac{13}{70}x
\end{equation}El séptimo restante sería para Gerardo
\begin{equation}
G=\frac17\left(\frac{13}{60}x\right)=\frac{13}{420}x
\end{equation}Así, el balance de lo narrado en los dos primeros párrafos del enunciado es el siguiente
\begin{equation}
\color{Tomato}
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{lll}
A=\displaystyle\frac14x,&C=\displaystyle\frac{13}{70}x,&G=\displaystyle\frac{13}{420}x\\
M=\displaystyle0,&R=\displaystyle\frac15x
\end{array}
\end{equation}Posteriormente, tras el tropezón con el parachispas, Adán se queda con
\begin{equation}
A=\frac12\left(\frac14x\right)=\frac18x
\end{equation}Mientras que Claudia y Gerardo se adueñan del octavo restante a partes iguales; esto es
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{c}
C=\displaystyle\frac{13}{70}x+\frac{1}{16}x=\frac{139}{560}x\\
G=\displaystyle\frac{13}{420}x+\frac{1}{16}x=\frac{157}{1\,680}x\\
\end{array}
\end{equation}Ultimado el rocambolesco episodio protagonizado entre Ricardo y Adán, el primero se queda sin nada
\begin{equation}
R=0
\end{equation}de suerte que Marcelo, Adán y Claudia ven crecer su haber como sigue
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{c}
M=\displaystyle\frac{1}{4}\left(\frac{1}{5}x\right)=\frac{1}{20}x\\
A=\displaystyle\frac{1}{8}x+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{5}x\right)=\frac{23}{120}x\\
C=\displaystyle\frac{139}{560}x+\frac27\left(\frac15x\right)=\frac{171}{560}x\\
\end{array}
\end{equation}Como \frac14+\frac13+\frac27=\frac{73}{84}, entendemos que los \frac{11}{84} restantes de aquello que fue de Ricardo se redistribuyeron así
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{c}
R=\displaystyle\frac12\cdot\frac{11}{84}\left(\frac15x\right)=\frac{11}{840}x\\
G=\displaystyle\frac{157}{1\,680}x+\frac12\cdot\frac{11}{84}\left(\frac15x\right)=\frac{179}{1\,680}x\\
\end{array}
\end{equation}En suma, las posesiones de cada uno tras los sucesos narrados en los párrafos tercero y cuarto son
\begin{equation}
\color{MediumPurple}
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{lll}
A=\displaystyle\frac{23}{120}x,&C=\displaystyle\frac{171}{560}x,&G=\displaystyle\frac{179}{1\,680}x\\
M=\displaystyle\frac{1}{20}x,&R=\displaystyle\frac{11}{840}x
\end{array}
\end{equation}Tras el asalto de Claudia, Marcelo y Adán ven disminuidas sus porciones como se expone a continuación
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{c}
A=\displaystyle\frac{23}{120}x-\frac34\left(\frac{1}{15}x\right)=\frac{17}{120}x\\
M=\displaystyle\frac{1}{20}x-\frac34\left(\frac{1}{20}x\right)=\frac{1}{80}x\\
\end{array}
\end{equation}Esto significa que hay en el suelo desparramados \displaystyle\frac{7}{80}x, de los cuales ellos mismos recuperan \displaystyle \frac58 en partes iguales; o sea,
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{c}
A=\displaystyle\frac{17}{120}x+\frac12\cdot\frac58\left(\frac{7}{80}x\right)=\frac{649}{3\,840}x\\
M=\displaystyle\frac{1}{80}x+\frac12\cdot\frac58\left(\frac{7}{80}x\right)=\frac{51}{1\,280}x\\
\end{array}
\end{equation}Llegado este punto, quedan \displaystyle\frac38 de lo desparramado, que se reparten en partes iguales los niños restantes
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{c}
C=\displaystyle\frac{171}{560}x+\frac18\left(\frac{7}{80}x\right)=\frac{1\,417}{4\,480}x\\
R=\displaystyle\frac{11}{840}x+\frac18\left(\frac{7}{80}x\right)=\frac{323}{13\,440}x\\
G=\displaystyle\frac{179}{1\,680}x+\frac18\left(\frac{7}{80}x\right)=\frac{1\,579}{13\,440}x\\
\end{array}
\end{equation}Si al final se reparten el tercio sobrante del paquete, cada uno tendrá \displaystyle\frac{1}{15}x extra en su haber, es decir
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.7}
\begin{array}{c}
A=\displaystyle\frac{649}{3\,840}x+\frac{1}{15}x=\frac{181}{768}x\\\
C=\displaystyle\frac{1\,417}{4\,480}x+\frac{1}{15}x=\frac{5\,147}{13\,440}x\\
G=\displaystyle\frac{1\,579}{13\,440}x+\frac{1}{15}x=\frac{165}{896}x\\
M=\displaystyle\frac{51}{1\,280}x+\frac{1}{15}x=\frac{409}{3\,840}\\\
R=\displaystyle\frac{323}{13\,440}x+\frac{1}{15}x=\frac{1\,219}{13\,440}x\\
\end{array}
\end{equation}Ahora bien, en el entendido de A,C,G,M y R deben ser números enteros, se hace evidente que x ha ser el mínimo de los múltiplos comunes a todos los denominadores o, inclusive, cualquier múltiplo entero de este. Como en el problema se nos pregunta por la menor las cantidades que satisfacen el problema, entendemos que habrá de verificarse que
\begin{equation}
x=\mathrm{m.c.m.}\left(768,896,3\,840,13\,440\right)
\end{equation}El cálculo aparece enseguida
\small
\begin{array}{rrrr|r}
768&896&3\,840&13\,440&2\\
384&448&1\,920&6\,720&2\\
192&224&960&3\,360&2\\
96&112&480&1\,680&2\\
48&56&240&840&2\\
24&28&120&420&2\\
12&14&60&210&2\\
6&7&30&105&2\\
3&1&15&35&3\\
1&&5&7&5\\
&&1&1&7
\end{array}Luego,
\begin{equation}
x=2^8\cdot3\cdot5\cdot7=26\,880
\end{equation}Es decir, que en el paquete había
\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}26\,880\text{ \,\,confites}\vphantom{\Big|}\phantom{xxx}\)}Siendo esto así, la cantidad de confites de cada niño quedó como sigue:
\colorbox{LightCyan}{\(\def\arraystretch{1.6}
\phantom{xxx}\begin{array}{r}
A=6\,335\\
C=10\,294\\
G=4\,950\\
M=2\,863\\
R=2\,438\\
\end{array}\phantom{xxx}\)}Bibliografía consultada
Dudeney, H. (1995). Los gatos del hechicero y nuevas diversiones matemáticas. Madrid, España: Juegos & Co. (Zugarto ediciones).
