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Una frustrada apuesta por la elegibilidad

De cara a los procesos electorales, sin importar su índole, son cuantiosas las rivalidades que surgen entre todos aquellos que aspiran a ocupar un cargo en el servicio público.

No pocas veces, la ambición desenfrenada de quienes se embarcan en esta empresa les lleva a montar meticulosas campañas de desprestigio hacia sus contrincantes y que, claramente, habrán de redundar en beneficio propio. No obstante, existen otras vías tanto superiores para limar estas asperezas y llegar a puntos de acuerdo.

En este mismo sentido, proponemos a nuestros lectores un curioso acertijo relacionado con estas vivencias de las que seguramente muchos hemos sido testigos.

Como siempre, ¡esperamos gustosos sus comentarios, sugerencias y propuestas de resolución alternativas!

ACERTIJO

Siete miembros de un prominente partido político, quienes se disputan la candidatura para contender en las elecciones presidenciales de 2024, han convenido en que sea el azar quien determine al elegido.

Según lo acordado, quien de entre ellos terminase con la máxima cantidad de dinero tras una ronda de apuestas, sería el indicado.

Cada que uno de los contendientes perdiera una partida, habría de duplicar el dinero de los demás jugadores, es decir, que habría de cederles un tanto igual a lo que tenían ya en el bolsillo.

Habiéndose sentado en fila, jugaron siete partidas y, por extraño que parezca, perdieron uno tras otro en forma consecutiva, estando el primer desafortunado en uno de los extremos de la fila y el último, en el otro.

Empero y para perplejidad de todos, una vez finalizado el juego, cada uno de los siete tenía exactamente la misma cantidad en el bolsillo: ciento veintiocho pesos.

El reto consiste en determinar cuánto dinero tenía cada quien consigo al empezar a jugar.

SOLUCIÓN

Designemos por J_1,\,J_2,\,J_3,\,J_4,\,J_5,\,J_6 y J_7 a los siete jugadores en cuestión y por j_1,\,j_2,\,j_3,\,j_4,\,j_5,\,j_6 y j_7 a las cantidades que, respectivamente, tenían en sus bolsillos al iniciar el juego.

Para comprobar la fidelidad de nuestros cálculos en cada etapa del procedimiento que desarrollaremos, conviene saber cuánto dinero hay en circulación. Si al finalizar todos tienen ciento veintiocho pesos, entonces

\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
           j_1+j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7&=&7\cdot128\vphantom{\Big|}\\
          &=&896 \vphantom{\Big|}
\end{array}
\end{equation}

Esta ecuación entraña una utilidad oculta, pues nos permite expresar la cantidad de dinero de alguno de los contrincantes en términos de los montos que poseen los otros. Por supuesto, esto posibilita reducir en uno el número de variables involucradas.

Por ejemplo, podríamos poner

\begin{equation}
          j_1=896-\left(j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7\right)
\end{equation}

Así, justo al comienzo del juego, el efectivo se distribuye como sigue

\begin{equation}
          \begin{array}{c : c}
                    \color{darkgray}J_i&\color{darkgray}\textsf{\small D\footnotesize ISTRIBUCIÓN \small I\footnotesize NICIAL}\vphantom{\Big|}\\ \hline
                    J_1&896-\left(j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7\right)\vphantom{\Big|}\\
                    J_2&j_2\vphantom{\Big|}\\
                    J_3&j_3\vphantom{\Big|}\\
                    J_4&j_4\vphantom{\Big|}\\
                    J_5&j_5\vphantom{\Big|}\\
                    J_6&j_6\vphantom{\Big|}\\
                    J_7&j_7\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
\end{equation}

A primera vista, el uso de \left(1\right) no parece sino haber complicado los futuros cálculos, pero como atestiguaremos más adelante, ocurre lo contrario.

Cuando J_1 pierde, J_2,\,J_3,\,J_4,\,J_5,\,J_6 y J_7 reciben de aquel otro tanto idéntico al que ya atesoraban, de modo que el circulante se redistribuye, quedando como expone la tabla siguiente

\begin{equation}
          \begin{array}{c : c}
                    \color{darkgray}J_i&\color{darkgray}\textsf{\small M\footnotesize ONTO 1.º}\vphantom{\Big|}\\ \hline
                    J_1&\color{crimson}896-2\left(j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7\right)\vphantom{\Big|}\\
                    J_2&\color{royalblue}2j_2\vphantom{\Big|}\\
                    J_3&\color{royalblue}2j_3\vphantom{\Big|}\\
                    J_4&\color{royalblue}2j_4\vphantom{\Big|}\\
                    J_5&\color{royalblue}2j_5\vphantom{\Big|}\\
                    J_6&\color{royalblue}2j_6\vphantom{\Big|}\\
                    J_7&\color{royalblue}2j_7\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
\end{equation}

La suma de las siete cuantías vale 896 MXN, como esperábamos.

Cuando J_2 pierde, J_1,\,J_3,\,J_4,\,J_5,\,J_6 y J_7 ven duplicada su hacienda, pero aquel la ve reducida según la regla acordada:

2j_2-\underbrace{\left[896-2\left(j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7\right)\right]\vphantom{\bigg|}}_{\text{el monto de }J_1 \text{ al perder }J_2\vphantom{\big|}}-\underbrace{2\left(j_3+j_4+j_5+j_6+j_7\right)\vphantom{\bigg|}}_{\substack{\text{los montos de }J_3,\,J_4,\,J_5,\,J_6\text{ y }J_7\vphantom{\big|}\\ \text{ al perder }J_2\vphantom{\big|}}}

Una vez manipulados los términos semejantes, obtenemos

4j_2-896

de forma que el reajuste de plata luce así

\begin{equation}
          \begin{array}{c : c}
                    \color{darkgray}J_i&\color{darkgray}\textsf{\small M\footnotesize ONTO 2.º}\vphantom{\Big|}\\ \hline
                    J_1&\color{royalblue}1\,792-4\left(j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7\right)\vphantom{\Big|}\\
                    J_2&\color{crimson}4j_2-896\vphantom{\Big|}\\
                    J_3&\color{royalblue}4j_3\vphantom{\Big|}\\
                    J_4&\color{royalblue}4j_4\vphantom{\Big|}\\
                    J_5&\color{royalblue}4j_5\vphantom{\Big|}\\
                    J_6&\color{royalblue}4j_6\vphantom{\Big|}\\
                    J_7&\color{royalblue}4j_7\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
\end{equation}

De nuevo, el monto total asciende a 896 MXN, verificando el buen hacer de nuestros cálculos.

Similarmente, al perder J_3, redoblan sus bienes J_1,\,J_2,\,J_4,\,J_5,\,J_6 y J_7; no así el infortunado, quien se queda, según se desprende de las imposiciones acordadas, con

\begin{array}{r}
          4j_3-\underbrace{\left[1\,792-4\left(j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7\right)\right]\vphantom{\bigg|}}_{\text{el monto de }J_1 \text{ al perder }J_3\vphantom{\big|}}-\underbrace{\left(4j_2-896\right)\vphantom{\bigg|}}_{\substack{\text{el monto de }J_2\vphantom{\big|}\\ \text{ al perder }J_3\vphantom{\big|}}}+\\ \\
          -\underbrace{4\left(j_4+j_5+j_6+j_7\right)\vphantom{\bigg|}}_{\substack{\text{los montos de }J_4,\,J_5,\,J_6\text{ y }J_7\vphantom{\big|}\\ \text{ al perder }J_3\vphantom{\big|}}}=8j_3-896
\end{array}

En este momento, la distribución resultante de capital es:

\begin{equation}
          \begin{array}{c : c}
                    \color{darkgray}J_i&\color{darkgray}\textsf{\small M\footnotesize ONTO 3.º}\vphantom{\Big|}\\ \hline
                    J_1&\color{royalblue}3\,584-8\left(j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7\right)\vphantom{\Big|}\\
                    J_2&\color{royalblue}8j_2-1\,792\vphantom{\Big|}\\
                    J_3&\color{crimson}8j_3-896\vphantom{\Big|}\\
                    J_4&\color{royalblue}8j_4\vphantom{\Big|}\\
                    J_5&\color{royalblue}8j_5\vphantom{\Big|}\\
                    J_6&\color{royalblue}8j_6\vphantom{\Big|}\\
                    J_7&\color{royalblue}8j_7\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
\end{equation}

Una vez más, el conteo global nos devuelve 896 MXN.

Bajo argumentaciones análogas, las 4 partidas restantes dan lugar a los reajustes exhibidos a continuación en sendas tablas:

\begin{equation}
          \begin{array}{c : c}
                    \color{darkgray}J_i&\color{darkgray}\textsf{\small M\footnotesize ONTO 4.º}\vphantom{\Big|}\\ \hline
                    J_1&\color{royalblue}7\,168-16\left(j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7\right)\vphantom{\Big|}\\
                    J_2&\color{royalblue}16j_2-3\,584\vphantom{\Big|}\\
                    J_3&\color{royalblue}16j_3-1\,792\vphantom{\Big|}\\
                    J_4&\color{crimson}16j_4-896\vphantom{\Big|}\\
                    J_5&\color{royalblue}16j_5\vphantom{\Big|}\\
                    J_6&\color{royalblue}16j_6\vphantom{\Big|}\\
                    J_7&\color{royalblue}16j_7\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
\end{equation}
\begin{equation}
          \begin{array}{c : c}
                    \color{darkgray}J_i&\color{darkgray}\textsf{\small M\footnotesize ONTO 5.º}\vphantom{\Big|}\\ \hline
                    J_1&\color{royalblue}14\,336-32\left(j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7\right)\vphantom{\Big|}\\
                    J_2&\color{royalblue}32j_2-7\,168\vphantom{\Big|}\\
                    J_3&\color{royalblue}32j_3-3\,584\vphantom{\Big|}\\
                    J_4&\color{royalblue}32j_4-1\,792\vphantom{\Big|}\\
                    J_5&\color{crimson}32j_5-896\vphantom{\Big|}\\
                    J_6&\color{royalblue}32j_6\vphantom{\Big|}\\
                    J_7&\color{royalblue}32j_7\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
\end{equation}
\begin{equation}
          \begin{array}{c : c}
                    \color{darkgray}J_i&\color{darkgray}\textsf{\small M\footnotesize ONTO 6.º}\vphantom{\Big|}\\ \hline
                    J_1&\color{royalblue}28\,672-64\left(j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7\right)\vphantom{\Big|}\\
                    J_2&\color{royalblue}64j_2-14\,336\vphantom{\Big|}\\
                    J_3&\color{royalblue}64j_3-7\,168\vphantom{\Big|}\\
                    J_4&\color{royalblue}64j_4-3\,584\vphantom{\Big|}\\
                    J_5&\color{royalblue}64j_5-1\,792\vphantom{\Big|}\\
                    J_6&\color{crimson}64j_6-896\vphantom{\Big|}\\
                    J_7&\color{royalblue}64j_7\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
\end{equation}
\begin{equation}
          \begin{array}{c : c}
                    \color{darkgray}J_i&\color{darkgray}\textsf{\small M\footnotesize ONTO 7.º}\vphantom{\Big|}\\ \hline
                    J_1&\color{royalblue}57\,344-128\left(j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7\right)\vphantom{\Big|}\\
                    J_2&\color{royalblue}128j_2-28\,672\vphantom{\Big|}\\
                    J_3&\color{royalblue}128j_3-14\,336\vphantom{\Big|}\\
                    J_4&\color{royalblue}128j_4-7\,168\vphantom{\Big|}\\
                    J_5&\color{royalblue}128j_5-3\,584\vphantom{\Big|}\\
                    J_6&\color{royalblue}128j_6-1\,792\vphantom{\Big|}\\
                    J_7&\color{crimson}128j_7-896\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
\end{equation}

Llegado este punto, todos tienen en su haber los ciento veintiocho pesos referidos. Podemos entonces escribir

\begin{gather}
          \left.\begin{array}{rcl}
                    128j_2-28\,672&=&128\vphantom{\Big|}\\
                    128j_3-14\,336&=&128\vphantom{\Big|}\\
                    128j_4-7\,168&=&128\vphantom{\Big|}\\
                    128j_5-3\,584&=&128\vphantom{\Big|}\\
                    128j_6-1\,792&=&128\vphantom{\Big|}\\
                    128j_7-896&=&128\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}\right\}
\end{gather}

La resolución de este sistema de ecuaciones es trivial y da

\begin{equation}
\left.\begin{array}{rcl}
                    j_2&=&225\vphantom{\Big|}\\
                    j_3&=&113\vphantom{\Big|}\\
                    j_4&=&57\vphantom{\Big|}\\
                    j_5&=&29\vphantom{\Big|}\\
                    j_6&=&15\vphantom{\Big|}\\
                    j_7&=&8\vphantom{\Big|}\\
\end{array}\right\}
\end{equation}

Además, en virtud de \left(2\right),

\begin{gather}
\begin{array}{rcl}
          j_1&=&896-\left(225+113+57+29+15+8\right)\vphantom{\Big|}\\
          &=&896-447\vphantom{\Big|}\\
          &=&449\vphantom{\Big|}
\end{array}
\end{gather}

El lector quizás se pregunte por qué no hemos tenido en consideración la primera de las ecuaciones de la tabla \left(10\right); la razón estriba en que no proporcionaba información alguna. Los resultados demandados vienen dados por las ecuaciones restantes.

Si acaso, esta expresión da testimonio de la validez de nuestros resultados, pues al reemplazar en ella las j_i recién halladas, queda

\small 
\begin{gather*}
\begin{array}{rcl}
          57\,344-128\left(225+113+57+29+15+8\right)&=&57\,344-128\cdot447\vphantom{\Big|}\\
          &=&57\,344-57\,216\vphantom{\Big|}\\
          &=&128\vphantom{\Big|}\\
\end{array}
\end{gather*}

Ahora bien, auxiliándonos en las tablas \left(3\right)-\left(10\right), podemos construir una nueva que nos permita visualizar la historia de lo ocurrido en cada partida. Hela aquí1

\begin{gather} \colorbox{lavender}{\(\,\begin{array}{c:c:c:c:c:c:c:c:c}
          &P_0&P_1&P_2&P_3&P_4&P_5&P_6&P_7\vphantom{\Big|}\\ \hline
          J_1&\color{DarkViolet}449&2&4&8&16&32&64&128\vphantom{\Big|}\\
          J_2&\color{DarkViolet}225&450&4&8&16&32&64&128\vphantom{\Big|}\\
          J_3&\color{DarkViolet}113&226&452&8&16&32&64&128\vphantom{\Big|}\\
          J_4&\color{DarkViolet}57&114&228&456&16&32&64&128\vphantom{\Big|}\\
          J_5&\color{DarkViolet}29&58&116&232&464&32&64&128\vphantom{\Big|}\\
          J_6&\color{DarkViolet}15&30&60&120&240&480&64&128\vphantom{\Big|}\\
          J_7&\color{DarkViolet}8&16&32&64&128&256&512&128\vphantom{\Big|}\\
\end{array}\,\)} \end{gather}
\footnotesize ^1\text{Denotamos por } P_i \text{ a la }i-\text{ésima partida}. \text{ Claramente, } P_0 \text{ alude al inicio del juego.}

Una solución alternativa

Si hubiésemos decidido no utilizar la ecuación \left(2\right), en el colofón de un procedimiento semejante al ya descrito, en lugar de \left(11\right) habríamos obtenido el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl}
                    64j_1-64j_2-64j_3-64j_4-64j_5-64j_6-64j_7 & = & 128\vphantom{\Big|}\\
                    -32j_1+96j_2-32j_3-32j_4-32j_5-32j_6-32j_7 & = & 128\vphantom{\Big|}\\
                    -16j_1-16j_2+112j_3-16j_4-16j_5-16j_6-16j_7 & = & 128\vphantom{\Big|}\\
                    -8j_1-8j_2-8j_3+120j_4-8j_5-8j_6-8j_7 & = & 128\vphantom{\Big|}\\
                    -4j_1-4j_2-4j_3-4j_4+124j_5-4j_6-4j_7 & = & 128\vphantom{\Big|}\\
                    -2j_1-2j_2-2j_3-2j_4-2j_5+126j_6-2j_7 & = & 128\vphantom{\Big|}\\
                    -j_1-j_2-j_3-j_4-j_5-j_6+127j_7 & = & 128\vphantom{\Big|}
\end{array}\right\}

que, por supuesto, es equivalente a

\begin{gather}
          \left.\begin{array}{rcr}
                    j_1-j_2-j_3-j_4-j_5-j_6-j_7 & = & 2\vphantom{\Big|}\\
                    j_1-3j_2+j_3+j_4+j_5+j_6+j_7 & = & -4\vphantom{\Big|}\\
                    j_1+j_2-7j_3+j_4+j_5+j_6+j_7 & = & -8\vphantom{\Big|}\\
                    j_1+j_2+j_3-15j_4+j_5+j_6+j_7 & = & -16\vphantom{\Big|}\\
                    j_1+j_2+j_3+j_4-31j_5+j_6+j_7 & = & -32\vphantom{\Big|}\\
                    j_1+j_2+j_3+j_4+j_5-63j_6+j_7 & = & -64\vphantom{\Big|}\\
                    -j_1-j_2-j_3-j_4-j_5-j_6+127j_7 & = & 128\vphantom{\Big|}
          \end{array}\right\}
\end{gather}

En marcado contraste con lo expuesto en el apartado anterior, donde para hallar la solución bastaron trece sencillas operaciones una vez que el sistema de ecuaciones estaba construido, ahora recién nos enfrentamos a la aparatosa tarea de resolverlo. He allí la ventaja del ardid que habíamos utilizado.

Así pues, de las posibles vías de resolución de \left(15\right), optaremos por el método de eliminación de Gauss-Jordan, por parecernos el más sencillo. Las operaciones elementales entre filas aparecen resaltadas en verde.

\begin{align*}
          \left(
          \begin{array}{ccccccc|r}
                    \phantom{-}1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & \phantom{-}2 \vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}1 & -3 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & -4\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}1 & \phantom{-}1 &-7 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & -8\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & -15 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & -16\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & -31 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & -32\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & -63 & \phantom{-}1 & -64\vphantom{\Big|}\\
                    -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 127 & 128\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
          \right)
\!\phantom{x} \color{OliveDrab}
          \begin{matrix*}[l]
                     \scriptstyle F_1\to F_1-F_7 \vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_2\to F_2+F_7 \vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_3\to F_3+F_7 \vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_4\to F_4+F_7 \vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_5\to F_5+F_7 \vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_6\to F_6+F_7 \vphantom{\Big|}\\
                     \xrightarrow{\phantom{F_6\to F_6+.}}\vphantom{\Big|}\\
          \end{matrix*}
\end{align*}
\begin{align*}
          \left(
          \begin{array}{ccccccc|r}
                    \phantom{-}2 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -128 & -126 \vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & -4 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}128 & 124\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 &-8 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}128 & 120\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -16 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}128 & 112\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -32 & \phantom{-}0 & \phantom{-}128 & 96\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -64 & \phantom{-}128 & 64\vphantom{\Big|}\\
                    -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & \phantom{-}127 & 128\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
          \right)
\!\phantom{x} \color{OliveDrab}
          \begin{matrix*}[l]
                     \scriptstyle F_1\to \frac{1}{2}F_1\vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_2\to -\frac{1}{4}F_2\vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_3\to -\frac{1}{8}F_3\vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_4\to -\frac{1}{16}F_4\vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_5\to -\frac{1}{32}F_5\vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_6\to -\frac{1}{64}F_6\vphantom{\Big|}\\
                     \xrightarrow{\phantom{F_6\to F_6+.}}\vphantom{\Big|}\\
          \end{matrix*}
\end{align*}
\begin{align*}
          \left(
          \begin{array}{ccccccc|r}
                    \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -64 & -63 \vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -32 & -31\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -16 & -15\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -8 & -7 \vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & -4 & -3 \vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -2 & -1\vphantom{\Big|}\\
                    -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & \phantom{-}127 & 128\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
          \right)
\!\phantom{x} \color{OliveDrab}
          \begin{matrix*}[l]
                     \vphantom{\Big|}\\
                     \vphantom{\Big|}\\
                     \vphantom{\Big|}\\
                     \vphantom{\Big|}\\
                     \vphantom{\Big|}\\
                     \vphantom{\Big|}\\
                     \xrightarrow{F_7 \to \sum_{k=1}^6 F_k\vphantom{\big|}}\\
          \end{matrix*}
\end{align*}
\begin{align*}
          \left(
          \begin{array}{ccccccc|r}
                    \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -64 & -63 \vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -32 & -31\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -16 & -15\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -8 & -7 \vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & -4 & -3 \vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -2 & -1\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & 8\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
          \right)
\!\phantom{x} \color{OliveDrab}
          \begin{matrix*}[l]
                     \scriptstyle F_1\to F_1+64F_7 \vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_2\to F_2+32F_7 \vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_3\to F_3+16F_7 \vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_4\to F_4+8F_7 \vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_5\to F_5+4F_7 \vphantom{\Big|}\\
                     \scriptstyle F_6\to F_6+2F_7 \vphantom{\Big|}\\
                     \xrightarrow{\phantom{F_6\to F_6+F.}}\vphantom{\Big|}\\
          \end{matrix*}
\end{align*}
\begin{align*}
          \left(
          \begin{array}{ccccccc|r}
                    \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{.}449 \vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & 225\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & 113\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & 57 \vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & 29 \vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & 15\vphantom{\Big|}\\
                    \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & 8\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
          \right)
\!\phantom{x} \color{OliveDrab}
          \begin{matrix*}[l]
                     \xrightarrow{\phantom{F_6\to F_6+F.}}\vphantom{\Big|}\\
          \end{matrix*}
\end{align*}
\begin{gather} \color{MediumVioletRed}
\left(\begin{array}{c}
          j_1\vphantom{\Big|}\\
          j_2\vphantom{\Big|}\\
          j_3\vphantom{\Big|}\\
          j_4\vphantom{\Big|}\\
          j_5\vphantom{\Big|}\\
          j_6\vphantom{\Big|}\\
          j_7\vphantom{\Big|}\\
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}
          449\vphantom{\Big|}\\
          225\vphantom{\Big|}\\
          113\vphantom{\Big|}\\
          57\vphantom{\Big|}\\
          29\vphantom{\Big|}\\
          15\vphantom{\Big|}\\
          8\vphantom{\Big|}\\
\end{array}\right)
\end{gather}

Tal y como lo augurábamos, estos resultados coinciden con los hallados con anterioridad.

El caso general

Y ¿qué ocurriría si hubiese más jugadores y la cantidad de dinero con la que cada cual termina no es entera?

Para dar respuesta a estas interrogantes, proporcionaremos primeramente dos ejemplos.

Por simplicidad, elegiremos que en el primero de estos el número de jugadores sea, como al principio, siete. No obstante, si asumimos que finalizado el juego cada quien tiene consigo x pesos2, x\in \mathbb Q^+, y aplicamos un procedimiento similar a cualquiera de los ya descritos para construir el historial de sucesos, obtendremos

\begin{array}{c:c:c:c:c:c:c:c:c} 
&P_0&P_1&P_2&P_3&P_4&P_5&P_6&P_7\vphantom{\Big|} \\ \hline
J_1&\displaystyle\frac{449}{128}x & \displaystyle\frac{1}{64}x & \displaystyle\frac{1}{32}x & \displaystyle\frac{1}{16}x & \displaystyle\frac{1}{8}x & \displaystyle\frac{1}{4}x & \displaystyle\frac{1}{2}x & x \vphantom{\Bigg|}  
\\
 J_2&\displaystyle\frac{225}{128}x & \displaystyle\frac{225}{64}x & \displaystyle\frac{1}{32}x & \displaystyle\frac{1}{16}x & \displaystyle\frac{1}{8}x & \displaystyle\frac{1}{4}x & \displaystyle\frac{1}{2}x & x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_3&\displaystyle\frac{113}{128}x & \displaystyle\frac{113}{64}x & \displaystyle\frac{113 }{32}x & \displaystyle\frac{1}{16}x & \displaystyle\frac{1}{8}x & \displaystyle\frac{1}{4}x & \displaystyle\frac{1}{2}x & x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_4&\displaystyle\frac{57}{128}x & \displaystyle\frac{57}{64}x & \displaystyle\frac{57}{32}x & \displaystyle\frac{57}{16}x & \displaystyle\frac{1}{8}x & \displaystyle\frac{1}{4}x & \displaystyle\frac{1}{2}x & x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_5&\displaystyle\frac{29}{128}x & \displaystyle\frac{29}{64}x & \displaystyle\frac{29}{32}x & \displaystyle\frac{29}{16}x & \displaystyle\frac{29}{8}x & \displaystyle\frac{1}{4}x & \displaystyle\frac{1}{2}x & x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_6&\displaystyle\frac{15}{128}x & \displaystyle\frac{15}{64}x & \displaystyle\frac{15}{32}x & \displaystyle\frac{15}{16}x & \displaystyle\frac{15}{8}x & \displaystyle\frac{15}{4}x & \displaystyle\frac{1}{2}x & x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_7&\displaystyle\frac{8}{128}x & \displaystyle\frac{8}{64}x & \displaystyle\frac{8}{32}x & \displaystyle\frac{8}{16}x & \displaystyle\frac{8}{8}x  & \displaystyle\frac{8}{4}x  & \displaystyle\frac{8}{2}x  & x  \vphantom{\Bigg|}
\end{array}
\footnotesize \text{T\scriptsize {ABLA} } \text{17.1 - Historial de distribución por partida}\\ \text{para el caso de siete jugadores.} 

Si inspeccionamos con atención estos cocientes, bien podemos relacionarlos con el número de contrincantes al escribir

\scriptsize \begin{array}{c:c:c:c:c:c:c:c:c} 
&P_0&P_1&P_2&P_3&P_4&P_5&P_6&P_7\vphantom{\Big|} \\ \hline
J_1&\displaystyle\frac{2^6\cdot 7+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{1}{2^6}x & \displaystyle\frac{1}{2^5}x & \displaystyle\frac{1}{2^4}x & \displaystyle\frac{1}{2^3}x & \displaystyle\frac{1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x \vphantom{\Bigg|}  
\\
 J_2&\displaystyle\frac{2^5\cdot 7+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{2^5\cdot 7+1}{2^6}x & \displaystyle\frac{1}{2^5}x & \displaystyle\frac{1}{2^4}x & \displaystyle\frac{1}{2^3}x & \displaystyle\frac{1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_3&\displaystyle\frac{2^4\cdot 7+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{2^4\cdot 7+1}{2^6}x & \displaystyle\frac{2^4\cdot 7+1 }{2^5}x & \displaystyle\frac{1}{2^4}x & \displaystyle\frac{1}{2^3}x & \displaystyle\frac{1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_4&\displaystyle\frac{2^3\cdot 7+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{2^3\cdot 7+1}{2^6}x & \displaystyle\frac{2^3\cdot 7+1}{2^5}x & \displaystyle\frac{2^3\cdot 7+1}{2^4}x & \displaystyle\frac{1}{2^3}x & \displaystyle\frac{1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_5&\displaystyle\frac{2^2\cdot 7+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{2^2\cdot 7+1}{2^6}x & \displaystyle\frac{2^2\cdot 7+1}{2^5}x & \displaystyle\frac{2^2\cdot 7+1}{2^4}x & \displaystyle\frac{2^2\cdot 7+1}{2^3}x & \displaystyle\frac{1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_6&\displaystyle\frac{2^1\cdot 7+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{2^1\cdot 7+1}{2^6}x & \displaystyle\frac{2^1\cdot 7+1}{2^5}x & \displaystyle\frac{2^1\cdot 7+1}{2^4}x & \displaystyle\frac{2^1\cdot 7+1}{2^3}x & \displaystyle\frac{2^1\cdot 7+1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_7&\displaystyle\frac{2^0\cdot 7+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{2^0\cdot 7+1}{2^6}x & \displaystyle\frac{2^0\cdot 7+1}{2^5}x & \displaystyle\frac{2^0\cdot 7+1}{2^4}x & \displaystyle\frac{2^0\cdot 7+1}{2^3}x  & \displaystyle\frac{2^0\cdot 7+1}{2^2}x  & \displaystyle\frac{2^0\cdot 7+1}{2^1}x  & \displaystyle\frac{1}{2^0}x  \vphantom{\Bigg|}
\end{array}
\footnotesize \text{T\scriptsize {ABLA} } \text{17.2 - Variante del historial de distribución por}\\ \text{partida para el caso de siete jugadores.} 

Similarmente, si son ocho los contendientes, podemos construir la tabla

\begin{array}{c:c:c:c:c:c:c:c:c:c} 
&P_0&P_1&P_2&P_3&P_4&P_5&P_6&P_7&P_8\vphantom{\Big|} \\ \hline
 J_1&\displaystyle\frac{1\,025}{256}x &\displaystyle\frac{1}{128}x & \displaystyle\frac{1}{64}x & \displaystyle\frac{1}{32}x & \displaystyle\frac{1}{16}x & \displaystyle\frac{1}{8}x  & \displaystyle\frac{1}{4}x  & \displaystyle\frac{1}{2}x  & x  \vphantom{\Bigg|}
\\
J_2&\displaystyle\frac{513}{256}x &\displaystyle\frac{513}{128}x & \displaystyle\frac{1}{64}x & \displaystyle\frac{1}{32}x & \displaystyle\frac{1}{16}x & \displaystyle\frac{1}{8}x & \displaystyle\frac{1}{4}x & \displaystyle\frac{1}{2}x & x \vphantom{\Bigg|}  
\\
 J_3&\displaystyle\frac{257}{256}x &\displaystyle\frac{257}{128}x & \displaystyle\frac{257}{64}x & \displaystyle\frac{1}{32}x & \displaystyle\frac{1}{16}x & \displaystyle\frac{1}{8}x & \displaystyle\frac{1}{4}x & \displaystyle\frac{1}{2}x & x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_4&\displaystyle\frac{129}{256}x &\displaystyle\frac{129}{128}x & \displaystyle\frac{129}{64}x & \displaystyle\frac{129}{32}x & \displaystyle\frac{1}{16}x & \displaystyle\frac{1}{8}x & \displaystyle\frac{1}{4}x & \displaystyle\frac{1}{2}x & x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_5&\displaystyle\frac{65}{256}x &\displaystyle\frac{65}{128}x & \displaystyle\frac{65}{64}x & \displaystyle\frac{65}{32}x & \displaystyle\frac{65}{16}x & \displaystyle\frac{1}{8}x & \displaystyle\frac{1}{4}x & \displaystyle\frac{1}{2}x & x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_6&\displaystyle\frac{33}{256}x &\displaystyle\frac{33}{128}x & \displaystyle\frac{33}{64}x & \displaystyle\frac{33}{32}x & \displaystyle\frac{33}{16}x & \displaystyle\frac{33}{8}x & \displaystyle\frac{1}{4}x & \displaystyle\frac{1}{2}x & x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_7&\displaystyle\frac{17}{256}x &\displaystyle\frac{17}{128}x & \displaystyle\frac{17}{64}x & \displaystyle\frac{17}{32}x & \displaystyle\frac{17}{16}x & \displaystyle\frac{17}{8}x & \displaystyle\frac{17}{4}x & \displaystyle\frac{1}{2}x & x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_8&\displaystyle\frac{9}{256}x &\displaystyle\frac{9}{128}x & \displaystyle\frac{9}{64}x & \displaystyle\frac{9}{32}x & \displaystyle\frac{9}{16}x & \displaystyle\frac{9}{8}x  & \displaystyle\frac{9}{4}x  & \displaystyle\frac{9}{2}x  & x  \vphantom{\Bigg|}
\end{array}
\footnotesize \text{T\scriptsize {ABLA} } \text{18.1 - Historial de distribución por partida}\\ \text{para el caso de ocho jugadores.} 

o, equivalentemente, la tabla

\tiny \begin{array}{c:c:c:c:c:c:c:c:c:c} 
&P_0&P_1&P_2&P_3&P_4&P_5&P_6&P_7&P_8\vphantom{\Big|} \\ \hline
J_1&\displaystyle\frac{2^7\cdot 8+1}{2^8}x &\displaystyle\frac{1}{2^7}x & \displaystyle\frac{1}{2^6}x & \displaystyle\frac{1}{2^5}x & \displaystyle\frac{1}{2^4}x & \displaystyle\frac{1}{2^3}x & \displaystyle\frac{1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x \vphantom{\Bigg|}  
\\
J_2&\displaystyle\frac{2^6\cdot 8+1}{2^8}x &\displaystyle\frac{2^6\cdot 8+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{1}{2^6}x & \displaystyle\frac{1}{2^5}x & \displaystyle\frac{1}{2^4}x & \displaystyle\frac{1}{2^3}x & \displaystyle\frac{1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x \vphantom{\Bigg|}  
\\
 J_3&\displaystyle\frac{2^5\cdot 8+1}{2^8}x &\displaystyle\frac{2^5\cdot 8+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{2^5\cdot 8+1}{2^6}x & \displaystyle\frac{1}{2^5}x & \displaystyle\frac{1}{2^4}x & \displaystyle\frac{1}{2^3}x & \displaystyle\frac{1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_4&\displaystyle\frac{2^4\cdot 8+1}{2^8}x &\displaystyle\frac{2^4\cdot 8+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{2^4\cdot 8+1}{2^6}x & \displaystyle\frac{2^4\cdot 8+1 }{2^5}x & \displaystyle\frac{1}{2^4}x & \displaystyle\frac{1}{2^3}x & \displaystyle\frac{1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_5&\displaystyle\frac{2^3\cdot 8+1}{2^8}x &\displaystyle\frac{2^3\cdot 8+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{2^3\cdot 8+1}{2^6}x & \displaystyle\frac{2^3\cdot 8+1}{2^5}x & \displaystyle\frac{2^3\cdot 8+1}{2^4}x & \displaystyle\frac{1}{2^3}x & \displaystyle\frac{1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_6&\displaystyle\frac{2^2\cdot 8+1}{2^8}x &\displaystyle\frac{2^2\cdot 8+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{2^2\cdot 8+1}{2^6}x & \displaystyle\frac{2^2\cdot 8+1}{2^5}x & \displaystyle\frac{2^2\cdot 8+1}{2^4}x & \displaystyle\frac{2^2\cdot 8+1}{2^3}x & \displaystyle\frac{1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_7&\displaystyle\frac{2^1\cdot 8+1}{2^8}x &\displaystyle\frac{2^1\cdot 8+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{2^1\cdot 8+1}{2^6}x & \displaystyle\frac{2^1\cdot 8+1}{2^5}x & \displaystyle\frac{2^1\cdot 8+1}{2^4}x & \displaystyle\frac{2^1\cdot 8+1}{2^3}x & \displaystyle\frac{2^1\cdot 8+1}{2^2}x & \displaystyle\frac{1}{2^1}x & \displaystyle\frac{1}{2^0}x  \vphantom{\Bigg|}
\\
 J_8&\displaystyle\frac{2^0\cdot 8+1}{2^8}x &\displaystyle\frac{2^0\cdot 8+1}{2^7}x & \displaystyle\frac{2^0\cdot 8+1}{2^6}x & \displaystyle\frac{2^0\cdot 8+1}{2^5}x & \displaystyle\frac{2^0\cdot 8+1}{2^4}x & \displaystyle\frac{2^0\cdot 8+1}{2^3}x  & \displaystyle\frac{2^0\cdot 8+1}{2^2}x  & \displaystyle\frac{2^0\cdot 8+1}{2^1}x  & \displaystyle\frac{1}{2^0}x  \vphantom{\Bigg|}
\end{array}
\footnotesize \text{T\scriptsize {ABLA} } \text{18.2 - Variante del historial de distribución por}\\ \text{partida para el caso de ocho jugadores.} 

Este mismo comportamiento se repite tanto para números de jugadores mayores que ocho, como para aquellos comprendidos entre dos y seis, ambos inclusive. En consecuencia, podemos generalizarlo a m jugadores haciendo uso de una matriz rectangular D\in\mathfrak{M}_{m,m+1}\left(\mathbb Q^+ \right), cuyos elementos obedezcan la relación

\begin{gather}
          \colorbox{LightCyan}{\(d_{ij}=
          \left.
                    \begin{array}{ccl}
                              \displaystyle\frac{1}{\,2^{m-j+1\,}}\,x\vphantom{\Bigg|}&\text{si}& i < j\\
                              \\
                              \displaystyle\frac{\,2^{m-i}+1\,}{2^{m-j+1}}\,x&\text{si}&i\geq j\vphantom{\Bigg|}
                    \end{array}
          \right\}\phantom{xx}
          \begin{matrix*}[l] 
                    i=1,2,\ldots,m\\
                    \\
                    j=1,2,\ldots,m+1
          \end{matrix*}\)}
\end{gather}

y que nos permite conocer al monto del i-ésimo participante en la partida j-1.

2 Claramente, no esperamos que la cantidad de dinero sea un número irracional o que tenga representación decimal periódica infinita. En términos prácticos esto sería irrealizable, pues requeriríamos monedas de un sinfín de denominaciones: milésimos, diezmilésimos, cienmilésimos,…

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