Un distante 2 207

Si los calendarios electorales permaneciesen inmutables y los periodos de gobierno se mantuvieran invariables, allá en el lejano 2 207 tendrá lugar el proceso de renovación de las 500 diputaciones federales (cual suele ocurrir a mediados de cada sexenio).

A más de ser un número primo, el 2 207 aparece en algunas relaciones numéricas interesantes, y es una de ellas la que proponemos a nuestros lectores resolver en esta ocasión.

ACERTIJO

Calcular

\displaystyle\sqrt[8\;]{2\,207-\frac{1^{\vphantom{|}}}{2\,207-\displaystyle\frac{1}{2\,207-\cdots}}}

expresando el resultado en la forma

\displaystyle \frac{a+b\sqrt{c}}{d}

con a,b,c,d\in\mathbb{Z}.

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SOLUCIÓN

Primeramente, hagamos

\begin{equation}
    x=\sqrt[8\;]{2207-\displaystyle\frac{1^{\vphantom{|}}}{2207-\displaystyle\frac{1}{2207-\cdots}}}
\end{equation}

Entonces

\begin{equation}
    x^8=2\,207-\displaystyle\frac{1^{\vphantom{|}}}{2207-\displaystyle\frac{1}{2207-\cdots}}
\end{equation}

o, lo que es lo mismo

\begin{equation}
    x^8=2\,207-\displaystyle\frac{1}{x^8\vphantom{\big|}}
\end{equation}

De aquí se sigue que

    x^8+\displaystyle\frac{1}{x^8\vphantom{\big|}}=2\,207

Y, como

\begin{equation}
    x^8+\displaystyle\frac{1}{x^8}=\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)^2-2
\end{equation}

podemos escribir

\begin{equation}
       \left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)^2=2\,209
\end{equation}

Luego¹

\begin{equation}
       \displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}=47
\end{equation}

Pero

\begin{equation}
    x^4+\displaystyle\frac{1}{x^4}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2
\end{equation}

en virtud de lo cual, \left(6\right) puede ser escrita como

\begin{equation}
       \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2=49
\end{equation}

En consecuencia²,

\begin{equation}
       \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=7
\end{equation}

Más aún, siendo

\begin{equation}
    x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2
\end{equation}

nos permitiremos poner

\begin{equation}
       \left(x+\frac{1}{x}\right)^2=9
\end{equation}

De aquí argüimos que

\begin{equation}
       \displaystyle x+\frac{1}{x}=3
\end{equation}

El lector quizás se pregunte porque no hemos incluido el -3 como posible solución de esta ecuación. Bástenos recordar que en \left(1\right) se ha definido a x como la raíz octava positiva de una fracción continua dada. Luego, esperamos que la suma de dos números positivos sea también positiva.

Finalmente, advertimos que de \left(12\right) podemos obtener la ecuación cuadrática

\begin{equation}
    x^2-3x+1=0
\end{equation}

cuyas posibles soluciones son

\begin{equation}
    x_{\pm}=\displaystyle\frac{3\pm\sqrt{5\,}}{2}
\end{equation}

¿Cuál solución elegir?

Al parecer estamos frente a una encrucijada en la que es difícil discernir el camino que conviene seguir.

No obstante, es fácil comprobar que

x\,=\sqrt[8\;]{2\,207-\displaystyle\frac{1^{\vphantom{|}}}{2\,207-\displaystyle\frac{1^{\vphantom{|}}}{x^8}}}\;>\;\sqrt[8]{2\,207-\displaystyle\frac{1}{2\,207}}\;\cong\;2{,}62>2

Pero

x_{-}=\displaystyle\frac{3-\sqrt{5\,}}{2}\cong0{,}382<2

de suerte que la solución debe ser x_{+}; esto es

\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}x=\displaystyle\frac{3+\sqrt{5\,}}{2}\vphantom{\Bigg|^{|}}\phantom{xxx}\)}

Su relación con el número áureo

El lector seguramente se sienta intrigado por la similitud de este resultado con la celebérrima razón áurea:

\begin{equation}
    \varphi=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5\,}}{2}
\end{equation}

En el caso que nos ocupa

x=\displaystyle\frac{3+\sqrt{5\,}}{2}=1+\frac{1+\sqrt{5\,}}{2}=1+\varphi=\varphi^2

de modo que hemos hallado que

\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}\varphi^2=\sqrt[8\;]{2\,207-\displaystyle\frac{1^{\vphantom{|}}}{2\,207-\displaystyle\frac{1}{2\,207-\cdots}}}\vphantom{\Bigg|^{|^{\big|}}_{\Big|_{|_{|_{\big|}}}}}\phantom{xxx}\)}

o equivalentemente,

\varphi=\sqrt[16\;]{2\,207-\displaystyle\frac{1^{\vphantom{|}}}{2\,207-\displaystyle\frac{1}{2\,207-\cdots}}}

¹ Al tomar la raíz cuadrada en ambos miembros de \left(5\right) resulta la igualdad \Bigg\lvert \displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}\Bigg\rvert=47\,, pero \displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}>0\phantom{x}\forall\; x\in\mathbb{R}, de suerte que debe ser \displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}=47

² Al igual que como hicimos en \left(6\right), al tomar la raíz cuadrada en ambos miembros de \left(8\right) resulta \Bigg\lvert \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}\Bigg\rvert=49\,, pero \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}>0\phantom{x}\forall\; x\in\mathbb{R}, de suerte que ha de verificarse que \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=47

Fuentes consultadas:

Kedlaya, K., Poonen, B., Vakil, R. (2002). The William Lowell Putnam Mathematical Competition 1985–2000. Washington, DC, EE. UU. AA: The Mathematical Association of America.

Michael Penn. (2021, enero 4). Putnam Exam | 1995:B4 [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=SqiTbViwgCg.