Bien dicen las escrituras de la tradición judeo-cristiana, que la raíz de todos los males es el amor al dinero. Acompáñanos en la resolución de este acertijo para ver cuánto se ha embolsado este ambicioso pillo.
ACERTIJO
Dificultad: 2/5
Temas: Álgebra; ecuaciones funcionales.
Un hombre codicioso, que se consideraba a sí mismo eminente y sin parangón, a las librerías ofreció su más reciente publicación.
Según argumentaba, tan preciada era que su coste al mayoreo obedecía a la ecuación funcional
x^2F\left(x\right)+F\left(1-x\right)\vphantom{\Bigg|}=x^4 + 421x^2 - 2x + 421siendo \,x\, la cantidad de libros en cuestión.
Usando sus influencias y posición política, obligó a algunos desafortunados libreros a que le comprasen 2 450 ejemplares.
¿Cuánto tuvieron que pagar por ellos los malaventurados?
¡Ponte a prueba e inténtalo!
Esperamos con gusto tus comentarios y propuestas, ya sea aquí mismo o a través de los perfiles de Instagram, Twitter o Facebook de The Mexico News e, inclusive, por el chat de Telegram. No dudes en participar.
SOLUCIÓN
Resolver ecuaciones funcionales demanda algo de ingenio. Usualmente se han de buscar cambios en los argumentos de las funciones que permitan construir unas cuantas ecuaciones adicionales y que conformen (en su conjunto) un sistema más fácil de abordar.
Por ejemplo, en el caso que nos ocupa, al reemplazar \,x\, por \,1-x\,, obtenemos
\begin{equation}
\small
\def \arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
F\left(x\right)+\left(1-x\right)^2F\left(1-x\right)&=&\left(1-x\right)^4+421\left(1-x\right)-2\left(1-x\right)+421\\
&=&x^4-4x^3+427x^2-844x+841
\end{array}
\end{equation}que resulta ser también una expresión en términos de las funciones \,F\left(x\right)\, y \,F\left(1-x\right)\,.
Así, junto con la ecuación proporcionada en el enunciado del problema, podemos formar un sistema de dos ecuaciones no lineales en las variables F\left(x\right) y F\left(1-x\right):
\begin{equation}
\small
\def\arraystretch{2}
\left.
\begin{array}{rcl}
x^2\color{IndianRed}F\left(x\right)\color{666666}+\color{MediumSlateBlue}F\left(1-x\right)&=&x^4+421x^2-2x+421\\
\color{IndianRed}F\left(x\right)\color{666666}+\left(1-x\right)^2\color{MediumSlateBlue}F\left(1-x\right)&=&x^4-4x^3+427x^2-844x+841
\end{array}
\color{LightGray}\right\}
\end{equation}Para resolver para F\left(x\right) podríamos restar de la segunda, la primera multiplicada por \left(1-x\right)^2:
%\footnotesize
\scriptsize
\def\arraystretch{2}
\begin{array}{c}
\begin{array}{rcl}
F\left(x\right)+\cancel{\left(1-x\right)^2F\left(1-x\right)}&=&\phantom{+}x^4-4x^3+427x^2-844x+841\\
-x^2\left(1-x\right)^2F\left(x\right)-\cancel{\left(1-x\right)^2F\left(1-x\right)}&=&-x^6+2x^5-422x^4+844x^3-846x^2+844x-421\vphantom{\bigg|}
\end{array}\\ \hline
\begin{array}{rcl}
\phantom{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\left[1-x^2\left(x^2-2x+1\right)\right]F\left(x\right)&=&-x^6+2x^5-421x^4+840x^3-419x^2+420\\
%\left[1-x^2\left(x^2-2x+1\right)\right]F\left(x\right)&\phantom{+}&\phantom{\left(1-x\right)^2F\left(1-x\right)}&=&-x^6+2x^5-421x^4+840x^3-419x^2+420\\
\end{array}\\
\end{array}esto es
\small \left(-x^4+2x^3-x^2+1\right)F\left(x\right)=-x^6+2x^5-421x^4+840x^3-419x^2+420
o, equivalentemente, habiendo multiplicado ambos miembros de la igualdad por -1
\small \left(x^4-2x^3+x^2-1\right)F\left(x\right)=x^6-2x^5+421x^4-840x^3+419x^2-420
de donde se sigue que
\small
F\left(x\right)=\displaystyle\frac{x^6-2x^5+421x^4-840x^3+419x^2-420\vphantom{\big|}}{x^4-2x^3+x^2-1\vphantom{\Big|}}como el denominador de la fracción es de menor grado que el de su numerador, efectuaremos la división con la esperanza de simplificar esta expresión
\footnotesize
\def\arraystretch{1.65}
\begin{array}{rl}
&\begin{array}{rcrcrcrcrcr} \phantom{+}x^2&+&420&\phantom{+}&\phantom{xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx}\\\hline\end{array}\\
x^4-2x^3+x^2-1&\begin{array}{|rcrcrcrcrcr}\phantom{+}x^6&-&2x^5&+&421x^4&-&840x^3&+&419x^2&-&420\vphantom{\Big|}\end{array}\\
&\begin{array}{rcrcrcrcrcr}-x^6&+&2x^5&-\phantom{421}&x^4&\phantom{-}&\phantom{840x^3}&+&\phantom{419}x^2&\phantom{-}&\phantom{420}\vphantom{\Big|} \\ \hline\end{array}\\
&\begin{array}{rcrcrcrcrcr}\phantom{-x^6}&\phantom{+}&\phantom{2x^5}&\phantom{+}&420x^4&-&840x^3&+&420x^2&-&420\end{array}\\
&\begin{array}{rcrcrcrcrcr}\phantom{-x^6}&\phantom{+}&\phantom{2x^5}&-&420x^4&+&840x^3&-&420x^2&+&420\vphantom{\Big|} \\ \hline\end{array}\\
&\begin{array}{rcrcrcrcrcr}\phantom{-x^6}&\phantom{+}&\phantom{2x^5}&\phantom{-}&\phantom{420x^4}&\phantom{+}&\phantom{840x^3}&\phantom{-}&\phantom{420x^2}&\phantom{+}&\phantom{42}0\vphantom{\Big|} \end{array}\\
\end{array}Para ventura nuestra, así ocurre y obtenemos
\begin{equation}
F\left(x\right)= x^2+420
\end{equation}Luego, para el caso de 2\,450 libros, el monto asciende a
\begin{equation}
\colorbox{Lavender}{\(\begin{array}{rcl}
\phantom{xx}F\left(2\,450\right)&=&6\,002\,920\phantom{xx}\vphantom{\bigg|}
\end{array}\)}
\end{equation}Esto es, un total de seis millones, dos mil novecientos veinte pesos.
