Triángulos cuasi-equiláteros

Es fácil comprobar que no existen triángulos equiláteros cuyos lados sean de longitud entera y cuya área también lo sea. Consideremos, por ejemplo, un triángulo equilátero de lado a\in\mathbb{Z}^+. Claramente, su superficie valdría

\def\arraystretch{2.5}
\begin{array}{rcl}
    \textcolor{SeaGreen}{A_{\textsf{triángulo}}}&=&\displaystyle\frac{1}{2}\;\text{base}\cdot\text{altura}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{2}a\cdot a\;\mathrm{sen\,}{60\degree}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{2}a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\
    &=&\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}a^2
\end{array}

Así, por ser \sqrt{3} un número irracional, el área también lo será.

No obstante, de entre los llamados triángulos cuasi-equiláteros hay ejemplares que cumplen con tal propiedad. Por ejemplo, el triángulo de lados 5\text{-}5\text{-}6 tiene una superficie de 12 unidades cuadradas.

En general, en un triángulo cuasi-equilátero, dos de los lados son iguales y el tercero difiere de aquellos en no más de una unidad.

PROBLEMA

Se pide encontrar la suma de los perímetros de todos los triángulos cuasi-equiláteros con lados enteros y superficie entera, cuyo perímetro sea menor que mil millones de unidades lineales (1\,000\,000\,000).

Por supuesto, lo grande de los valores involucrados demanda la ayuda de un ordenador o computadora.

¿Cómo lo resolverías?

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SOLUCIÓN

Si revisamos cuidadosamente la definición dada en el epígrafe, advertiremos que el hecho de que la longitud del lado distinto difiera en no más de una unidad respecto de los otros, restringe la búsqueda a dos conjuntos posibles de triángulos cuasi-equiláteros. Manteniendo la convención de designar la longitud de uno de los lados por a, a\in\mathbb{Z}^+, estos son

• el conformado por triángulos de lados a, a y a+1, con perímetro p_{+}=3a+1, y
• el constituido por triángulos de lados a, a y a-1, con perímetro p_{-}=3a-1.

El valor de las superficies no es tan evidente, pero puede calcularse fácilmente. Seguramente el lector recordará de su etapa de educación secundaria la famosa fórmula de Herón que serviría para este propósito. No obstante, consideramos que el uso de argumentos vectoriales es más claro y que sigue el espíritu de numerosos desarrollos que hemos abordado ya en acertijos anteriores.

Así, suponiendo que dos de los vértices de un triángulo se hallan sobre los extremos de los vectores

\def\arraystretch{1.5}
\begin{equation}
\vec{\pmb u}_1=\left(\begin{array}{rcl}a\\0\end{array}\right),\;
\vec{\pmb u}_2=\left(\begin{array}{rcl}a\cos{\theta}\\a\,\mathrm{sen}\,\theta\end{array}\right)
\end{equation}

siendo \theta el ángulo entre ambos, y que el tercer vértice yace sobre su origen común (que es también el de coordenadas), concluimos que el área debe valer¹

\begin{equation}
    A=\frac{1}{2}a^2\left|\,\mathrm{sen}\,\theta\,\right|
\end{equation}

Requerimos entonces conocer el valor del seno del ángulo. Para hallarlo tendremos en cuenta que el lado de distinta medida habrá de satisfacer, en correspondencia con la familia de triángulos a la que pertenece, la relación

\begin{equation}
\| \vec{\pmb u}_1-\vec{\pmb u}_2\|=a\pm1
\end{equation}

esto es

\def\arraystretch{2.95}
\begin{array}{rclr}
    \sqrt{a^2\left(1-\cos{\theta}\right)^2+a^2\,\mathrm{sen}^2\,\theta}&=&a\pm1&\Rightarrow \\
    \sqrt{a^2\left[\left(1-\cos{\theta}\right)^2+\,\mathrm{sen}^2\,\theta\right]}&=&a\pm1&\Rightarrow \\
    a\sqrt{1-2\cos{\theta}+\cos^2{\theta}+\,\mathrm{sen}^2\,\theta\vphantom{\big|}}&=&a\pm1&\Rightarrow \\
    \sqrt{2-2\cos{\theta}\vphantom{\big|}}&=&\displaystyle\frac{a\pm1}{a}&\Rightarrow \\
    2\left(1-\cos{\theta}\right)&=&\displaystyle\left(\frac{a\pm1}{a}\right)^2&\Rightarrow \\
    1-\cos{\theta}&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a\pm1}{a}\right)^2&
    %\cos{\theta}&=&1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a\pm1}{a}\right)^2
\end{array}

y de aquí se sigue que

\begin{equation}
    \cos{\theta}=1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a\pm1}{a}\right)^2
\end{equation}

Más aún, de la identidad pitagórica \mathrm{sen}^2\,\theta+\cos^2{\theta}= 1, sabemos que

\begin{equation}
\mathrm{sen}\,\theta=\pm\sqrt{1-\cos^2\theta\vphantom{\big|}}
\end{equation}

Así pues

\def\arraystretch{3.5}
\begin{array}{rcl}
    A&=&\displaystyle\frac{1}{2}a^2\sqrt{1-\left[1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a\pm1}{a}\right)^2\right]^{2\vphantom{\big|}}}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{2}a^2\sqrt{1-1+\left(\frac{a\pm1}{a}\right)^2-\frac{1}{4}\left(\frac{a\pm1}{a}\right)^4}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{2}a^2\sqrt{\left(\frac{a\pm1}{a}\right)^2\left[1-\displaystyle\frac{1}{4}\left(\frac{a\pm1}{a}\right)^2\right]^{\vphantom{|}}}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{2}a^2\cdot\frac{a\pm1}{a}\sqrt{\left[1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a\pm1}{a}\right)\right]\left[1+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a\pm1}{a}\right)\right]}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{2}a\left(a\pm1\right)\sqrt{\left[1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a\pm1}{a}\right)\right]\left[1+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a\pm1}{a}\right)\right]}
\end{array}

Tenemos entonces dos posibilidades

\def\arraystretch{3.5}
\begin{array}{rcl}
    A_{+}&=&\displaystyle\frac{1}{2}a\left(a+1\right)\sqrt{\left[1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a+1}{a}\right)\right]\left[1+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a+1}{a}\right)\right]}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{2}a\left(a+1\right)\sqrt{\left(\frac{2a-a-1}{2a}\right)\left(\frac{2a+a+1}{2a}\right)}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{2}a\left(a+1\right)\sqrt{\frac{\left(a-1\right)\left(3a+1\right)}{4a^2}}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{2}a\left(a+1\right)\cdot\frac{1}{2a}\sqrt{\left(a-1\right)\left(3a+1\right)}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{4}\left(a+1\right)\sqrt{\left(a-1\right)\left(3a+1\right)}\\
\end{array}

y

\def\arraystretch{3.5}
\begin{array}{rcl}
    A_{-}&=&\displaystyle\frac{1}{2}a\left(a-1\right)\sqrt{\left[1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a-1}{a}\right)\right]\left[1+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a-1}{a}\right)\right]}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{2}a\left(a-1\right)\sqrt{\left(\frac{2a-a+1}{2a}\right)\left(\frac{2a+a-1}{2a}\right)}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{2}a\left(a-1\right)\sqrt{\frac{\left(a+1\right)\left(3a-1\right)}{4a^2}}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{2}a\left(a-1\right)\cdot\frac{1}{2a}\sqrt{\left(a+1\right)\left(3a-1\right)}\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{4}\left(a-1\right)\sqrt{\left(a+1\right)\left(3a-1\right)}\\
\end{array}

En suma,

\begin{equation}
    \fcolorbox{blue}{white}{$\phantom{---}A_{\pm}=\displaystyle\frac{1}{4}\left(a\pm1\right)\sqrt{\left(a\mp1\right)\left(3a\pm1\right)\vphantom {\big|}}\vphantom{\Bigg|}\phantom{---}$}
\end{equation}

Nos preguntamos entonces cómo han de seleccionarse los valores de a para que A_{\pm} sea un número entero. En principio, claro está, el producto bajo el radical debe ser un cuadrado perfecto. De lo contrario \left(6\right) sería irracional.

Además tanto a\pm1 como \sqrt{\left(a\mp1\right)\left(3a\pm1\right)\vphantom {\big|}} deben ser números pares para que su producto sea divisible por 4.

Abordemos primeramente este último requerimiento: si a fuese un número par podríamos escribir a = 2k, con k=1,2,3,\ldots.

Entonces

• a\pm 1 = 2k\pm 1, que es un número impar, y
• 3a\pm 1 = 6k\pm 1, que es también un número impar.

Luego, el producto \left(a\mp1\right)\left(3a\pm1\right) es impar y, en consecuencia, su raíz, igualmente impar. De aquí se sigue que el producto \left(a\pm1\right)\sqrt{\left(a\mp1\right)\left(3a\pm1\right)\vphantom {\big|}}\vphantom{\Bigg|} es impar y, por lo tanto, NO divisible por 4.

Solamente queda una posibilidad: que a sea impar. Dejamos como ejercicio al lector comprobar que de serlo, A_{\pm} es entera.

Ahora hemos de abocarnos a la segunda demanda: que el radicando sea un cuadrado perfecto. Para evitar todo atisbo de confusión estudiaremos los dos casos separadamente.

La familia de lados \left\{a,a,a+1\right\}

Supongamos un entero b\in\mathbb{Z}^+ tal que

\left(a-1\right)\left(3a+1\right)\vphantom {\big|}=3a^2-2a-1=b^2

o equivalentemente,

\begin{equation}
    3a^2-2a-\left(1+b^2\right)=0
\end{equation}

Entendiendo esta expresión como una ecuación cuadrática en la variable a, se hace patente que

\def\arraystretch{3}
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
    a&=&\displaystyle\frac{1}{6}\left[2\pm\sqrt{4+12\left(1+b^2\vphantom{\big|}\right)}\right]\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{6}\left[2\pm2\sqrt{1+3\left(1+b^2\right)\vphantom{\big|}}\right]\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{3}\left(1\pm\sqrt{3b^2+4\vphantom{\big|}}\right)
\end{array}
\end{equation}

Además, habiendo argüido que a es impar, es posible concluir que 3a^2-2a-1 será par. Para verlo, pongamos a=2k-1, con k=1,2,3,\ldots. Por lo tanto

\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{rcl}
    3a^2-2a-1&=&3\left(2k-1\right)^2-2\left(2k-1\right)-1\\
    &=&3\left(4k^2-4k+1\right)-4k+2-1\\
    &=&12k^2-12k+3-4k+1\\
    &=&12k^2-16k+4\\
    &=&4\left(3k^2-4k+1\right)
\end{array}

que es, claramente, divisible por 2.

Luego, para que se cumpla la igualdad 3a^2-2a-1=b^2, b debe ser par.

Tomemos, pues, a=2c, con c\in\mathbb{Z}^{+} y remplacemos esta expresión en la ecuación \left(8\right). Así,

\def\arraystretch{3}
\begin{array}{rcl}
    a&=&\displaystyle\frac{1}{3}\left(1\pm\sqrt{12c^2+4\vphantom{\big|}}\right)\\
    &=&\displaystyle\frac{1}{3}\left(1\pm 2\sqrt{3c^2+1\vphantom{\big|}}\right)
\end{array}

Ahora bien, como a debe ser un entero positivo y 2\sqrt{3c^2+1\vphantom{\big|}}>1, la solución negativa carece de validez; esto es

\def\arraystretch{3}
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
    a&=&\displaystyle\frac{1}{3}\left(1+ 2\sqrt{3c^2+1\vphantom{\big|}}\right)
\end{array}
\end{equation}

Más aún, el radicando debe ser nuevamente un cuadrado perfecto. Si lo designásemos por d^2, podremos escribir 3c^2+1=d^2 o, lo que es lo mismo

\begin{equation}
    \fcolorbox{blue}{white}{$\phantom{---}d^2-3c^2=1\phantom{---}\vphantom{\Bigg|}$}
\end{equation}

que es una ecuación de Pell.

De esta forma, podemos poner²

\begin{equation}
    a_{+}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(2d+1\right)
\end{equation}

Algunos de los posibles valores de c y d pueden hallarse muy fácilmente, ya sea de forma manual o mediante una calculadora de bolsillo. Enlistamos enseguida los primeros ocho, acompañados del correspondiente valor de a:

\def\arraystretch{1.75}
\begin{array}{c|c|c}
    c&d&a_{+}\\ \hline
    0&1&1\\
    1&2&\frac{5}{3}\notin\mathbb{Z}^{+}\\
    4&7&5\\
    15&26&\frac{53}{3}\notin\mathbb{Z}^{+}\\
    56&97&65\\
    209&362&\frac{725}{3}\notin\mathbb{Z}^{+}\\
    780&1\,351&901\\
    2\,911&5\,042&\frac{10\,085}{3}\notin\mathbb{Z}^{+}\\
    \vdots&\vdots&\vdots\\

\end{array}

Como el lector seguramente lo habrá notado, los valores admisibles de d serán todos aquellos para los que 1+2d es un múltiplo de 3.

La familia de lados \left\{a,a,a-1\right\}

Si seguimos un procedimiento análogo para el otro conjunto de triángulos, obtendremos la misma ecuación de Pell, aunque ahora

\def\arraystretch{3}
\begin{equation}
    a_{-}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(2d-1\right)
\end{equation}

de tal suerte que hay nuevos valores plausibles, como damos cuenta en la tabla siguiente

\def\arraystretch{1.75}
\begin{array}{c|c|c|c}
    c&d&a_{+}&a_{-}\\ \hline
    0&1&1&\frac{1}{3}\notin\mathbb{Z}^{+}\\
    1&2&\frac{5}{3}\notin\mathbb{Z}^{+}&1\\
    4&7&5&\frac{13}{3}\notin\mathbb{Z}^{+}\\
    15&26&\frac{53}{3}\notin\mathbb{Z}^{+}&17\\
    56&97&65&\frac{193}{3}\notin\mathbb{Z}^{+}\\
    209&362&\frac{725}{3}\notin\mathbb{Z}^{+}&241\\
    780&1\,351&901&\frac{2\,701}{3}\notin\mathbb{Z}^{+}\\
    2\,911&5\,042&\frac{10\,085}{3}\notin\mathbb{Z}^{+}&3\,361\\
    \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\

\end{array}

En aras de simplificar nuestro análisis, incorporaremos una columna con un índice n (con meros propósitos de identificación) y nos concentraremos en las únicas longitudes relevantes

\def\arraystretch{1.75}
\begin{array}{c|c|c}
    \phantom{1}n\phantom{1}&d&a\\ \hline
    \textcolor{LightSteelBlue}{0} &1&1\\
    \textcolor{LightSteelBlue}{1} &2&1\\
    \textcolor{LightSteelBlue}{2} &7&5\\
    \textcolor{LightSteelBlue}{3} &26&17\\
    \textcolor{LightSteelBlue}{4} &97&65\\
    \textcolor{LightSteelBlue}{5} &362&241\\
    \textcolor{LightSteelBlue}{6} &1\,351&901\\
    \textcolor{LightSteelBlue}{7} &5\,042&3\,361\\
    \textcolor{LightSteelBlue}{\vdots}&\vdots&\vdots\\
\end{array}

El caso general

Llegado este punto no resta más que averiguar si existe alguna relación entre los valores de d y a.

Veamos, por ejemplo, que para generar la sucesión de valores de d bastan dos operaciones que siguen un patrón bastante claro

\def\arraystretch{1.75}
\begin{array}{rcl}
    7&=&4\cdot 2-1\\
    26&=&4\cdot 7-2\\
    97&=&4\cdot 26-7\\
    362&=&4\cdot 97-26\\
    1\,351&=&4\cdot 362-97\\
    5\,042&=&4\cdot 1\,351-362\\
\end{array}

En concreto, se trata de la relación de recurrencia

\def\arraystretch{1.75}
\begin{equation}
\fcolorbox{blue}{white}{$\begin{array}{c}d_0=1\\d_1=2\\d_n=4d_{n-1}-d_{n-2},\;n=2,3,4,\ldots\\ \end{array}$}
\end{equation}

En virtud de ella podemos combinar las ecuaciones \left(11\right) y \left(12\right) para obtener

\begin{equation}
    \fcolorbox{blue}{white}{$\phantom{---}a_n=\displaystyle\frac{1}{3}\left[\left(-1\right)^n + 2d_n\vphantom{\Big|}\right]\vphantom{\Bigg|_{|}^{|}}\phantom{---}$}
\end{equation}

de modo que la sucesión de posibles perímetros vendrá dada por

\begin{equation}
    \fcolorbox{Tan}{LemonChiffon}{$\phantom{---\,\,\,\,\,\,}p_n=\left(-1\right)^n + 3a_n\vphantom{\Bigg|_{|}^{|}}\phantom{---\,\,\,\,\,\,}$}
\end{equation}

mientras que las áreas, por

\begin{equation}
    \fcolorbox{blue}{white}{$\phantom{---}A_{n}=\displaystyle\frac{1}{4}\left[\left(-1\right)^n+a_n\right]\sqrt{3a_n^2+\left(-1\right)^{n+1}\cdot 2a_n-1}\vphantom{\Bigg|_{|}^{|}}\phantom{---}$}
\end{equation}

Por consiguiente, no falta sino programar en un ordenador estas expresiones y calcular la suma acumulativa de los perímetros. El lector puede usar el lenguaje de su preferencia. En esta ocasión, nosotros lo haremos en Python.

Una observación importante: los casos degenerados

Para n=0 y n=1, el área de los triángulos es nula, aunque no así sus perímetros. Estos triángulos se denominan degenerados y no los consideraremos en el cálculo de la suma.

Programación en Python

Como desconocemos el valor de n para el que se satisface que

\begin{equation}
p_n>10^9
\end{equation}

lo ideal será usar un ciclo \texttt{while} que se ejecute mientras p_n\leq10^9.

Si bien sobrescribir valores reduciría el consumo de memoria, usaremos listas para el almacenamiento de los resultados. Esto tiene meros propósitos didácticos y pretende facilitar el acceso al n-ésimo elemento de cada sucesión.

import numpy as np
from prettytable import PrettyTable

'''
    Llamaremos
    
    - 'd' a la Lista de los elementos de la sucesión d[n] = 4d[n-1] - d[n-2], 
      con d[0] = 1, d[1] = 2,
    - 'a', al vector destinado al almacenamiento de las posibles longitudes 
      del lado (en función de d[n]),
    - 'A', al vector para el almacenamiento de las áreas, 
    - 'p', al vector para el almacenamiento de los perímetros, y
    - 's', a la la suma acumulativa de los perímetros.
    
    Inicializaremos d, a, A y p con los valores correspondientes a los   
    triángulos degenerados de cada familia.
'''
d = [1, 2]
a = [1, 1]
A = [0, 0]
p = [4, 2]
s = 0      

tabla = PrettyTable()
tabla.field_names = ['n', 'a', 'p', 'A', 's']
tabla.add_row([0, a[0], p[0], A[0], s])
tabla.add_row([1, a[1], p[1], A[1], s])

n = 1
while(p[n] <= 10**9):
    n += 1
    d.append(int(4*d[n-1] - d[n-2]))
    a.append(int(1/3 * ((-1)**n + 2*d[n])))
    p.append(int(3*a[n] + (-1)**n))
    A.append(int(1/4 * (a[n] + (-1)**n) * 
             np.sqrt(3*(a[n])**2 + ((-1)**(n+1)) * 2*a[n] - 1)))
    s += p[n]
    tabla.add_row([n, a[n], p[n], A[n], s])

El resultado es la tabla siguiente:

\small
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c|c|c|c|c}
n & a_n & p_n & A_n & s \\ \hline
\textcolor{LightSteelBlue}{0} & 1 & 4 & 0 & 0 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{1} & 1 & 2 & 0 & 0 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{2} & 5 & 16 & 12 & 16 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{3} & 17 & 50 & 120 & 66 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{4} & 65 & 196 & 1\,848 & 262 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{5} & 241 & 722 & 25\,080 & 984 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{6} & 901 & 2\,704 & 351\,780 & 3\,688 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{7} & 3\,361 & 10\,082 & 4\,890\,480 & 13\,770 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{8} & 12\,545 & 37\,636 & 68\,149\,872 & 51\,406 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{9} & 46\,817 & 140\,450 & 949\,077\,360 & 191\,856 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{10} & 174\,725 & 524\,176 & 13\,219\,419\,708 & 716\,032 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{11} & 652\,081 & 1\,956\,242 & 184\,120\,982\,760 & 2\,672\,274 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{12} & 2\,433\,601 & 7\,300\,804 & 2\,564\,481\,115\,560 & 9\,973\,078 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{13} & 9\,082\,321 & 27\,246\,962 & 35\,718\,589\,344\,360 & 37\,220\,040 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{14} & 33\,895\,685 & 101\,687\,056 & 497\,495\,864\,091\,732 & 138\,907\,096 \\
\textcolor{LightSteelBlue}{15} & 126\,500\,417 & 379\,501\,250 & 6\,929\,223\,155\,685\,600 & \textcolor{SlateBlue}{518\,408\,346} \\
\end{array}

de donde obtenemos la ansiada solución:

\begin{equation}
    \fcolorbox{SlateBlue}{AliceBlue}{$ \phantom{---}s=518\,408\,346 \phantom{---}\vphantom{\Bigg|}$}
\end{equation}

Ofrecemos al lector interesado una ilustración de los primeros dos triángulos no degenerados. El verde tiene lados 5\text{-}5\text{-}6, mientras que el azul, 17\text{-}17\text{-}16.

\Large\color{CornFlowerBlue}{\blacksquare}

Anexo - Los valores posibles de \theta

Hasta ahora nada hemos tratado sobre los valores admisibles del ángulo entre \vec{\pmb u}_1 y \vec{\pmb u}_2, así que conviene dedicar unas cuantas líneas a esta cuestión.

Antes de zambullirnos en los cálculos simbólicos, intentemos visualizar mentalmente las cotas inferior y superior de \theta.

Conforme n\to\infty, un triángulo cuasi-equilátero se «aproxima» cada vez más a uno equilátero, es decir, que \theta\to\frac{\pi}{3} (o en grados, \theta\to60\degree). No obstante, como los lados jamás serán simultáneamente idénticos en longitud, el ángulo nunca valdrá exactamente 60\degree; en definitiva \theta>60\degree o \theta<60\degree.

Por otro lado están los casos degenerados:

• cuando \theta\to\pi (o bien, en grados, \theta\to180\degree), y
• cuando \theta\to0 (o bien, en grados, \theta\to0\degree).

En ambos supuestos los triángulos «colapsan» sobre el eje de las abscisas. De aquí se sigue que deberá ser, según su familia de pertenencia, \theta\leq180\degree, o \theta\geq0\degree.

Para comprobar lo discutido, observemos que, en virtud de \left(4\right),

\theta=\arccos{\left(1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{a\pm1}{a}\right)^2\right)}\iff \left|1-\frac{1}{2}\left(\frac{a\pm1}{a}\right)^2\right|\leq1,\;a\in\mathbb{Z}^{+}

y como la desigualdad que delimita el dominio de definición de \theta puede reducirse a a\geq1 para las dos familias, nos bastará con escribir

\begin{equation}
    \theta=\arccos{\left(1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(1\pm\frac{1}{a}\right)^2\right)}, \;a\in\mathbb{Z}^{+}
\end{equation}

Consecuentemente, para valores grandes de a

\begin{equation}
    \lim_{a\to+\infty}{\arccos{\left(1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(1\pm\frac{1}{a}\right)^2\right)}}=\arccos{\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{3}
\end{equation}

tal y como lo habíamos adelantado.

Asimismo, de aquí se desprende que la recta y=\frac{\pi}{3} es una asíntota horizontal de las funciones descritas en \left(19\right).

Por lo que a las cotas restantes respecta, conviene definir separadamente los ángulos en función del signo que relaciona los términos del binomio cuadrático del argumento del coseno inverso. Pondremos entonces

\begin{equation}
    \theta_{+}=\arccos{\left(1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{a}\right)^2\right)}, \;a\in\mathbb{Z}^{+}
\end{equation}

y

\begin{equation}
    \theta_{-}=\arccos{\left(1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{a}\right)^2\right)}, \;a\in\mathbb{Z}^{+}
\end{equation}

Ahora bien, como \arccos{z} es una función monótona decreciente³ de z, z\in\left[-1,1\right], entonces, dada una función f\left(a\right) estrictamente creciente en un algún subconjunto de su dominio, deducimos que \arccos{\left(f\left(a\right)\right)} será monótona decreciente en dicho subconjunto.

Similarmente, si g\left(a\right) es estrictamente decreciente en algún subconjunto de su dominio, entonces en este, \arccos{\left(g\left(a\right)\right)} es monótona creciente.

Así, si para el caso que nos ocupa definimos

f\left(a\right)=1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{a}\right)^2,\;a\geq1

que es estrictamente creciente para los valores puntualizados de a, concluimos que \theta_{+} es monótona decreciente.

Luego, debe alcanzar su máximo valor en a=1. En consecuencia

\theta_{+,\textsf{máx}}=\pi

De igual forma, si definimos

g\left(a\right)=1-\displaystyle\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{a}\right)^2,\;a\geq1

que es estrictamente decreciente en el dominio referido, advertimos que \theta_{-} es monótona creciente. Por tanto, su mínimo valor ha de alcanzarse en a=1. Así pues

\theta_{-,\textsf{mín}}=0

Finalmente, concluimos que

\def\arraystretch{2.5}
\colorbox{Linen}{$\phantom{-}\begin{array}{c}\textsf{para la familia de triángulos } \triangle_{a,+}\equiv\left\{\triangle\left(a, a, a+1\right):a\in\mathbb{Z}^{+}\right\}\textsf{,}\\ \theta\in\left(\displaystyle\frac{\pi}{3},\pi\right]\vphantom{\frac{\Big|}{\Big|}}\end{array}\phantom{-}$}

mientras que

\def\arraystretch{2.5}
\colorbox{Linen}{$\phantom{-}\begin{array}{c}\textsf{para la familia de triángulos }  \triangle_{a,-}\equiv\left\{\triangle\left(a, a, a-1\right):a\in\mathbb{Z}^{+}\right\}\textsf{,}\\
\theta\in\left[0,\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\vphantom{\frac{\Big|}{\Big|}}\end{array}\phantom{-}$}

Los gráficos de las funciones que rigen este comportamiento se esbozan a continuación

¹ El lector se habrá percatado de que A=\displaystyle\frac{1}{2}\|\vec{\pmb u}_1\times\vec{\pmb u}_2\|.

² Hemos introducido el subíndice + para distinguir este conjunto del de los valores asociados a la familia de lados \left\{a,a,a-1\;:\;a\in\mathbb{Z}^{+}\right\}.

³ Dada una función f:D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}, decimos que es monótona decreciente si \forall \;x,y\in D,\;x>y \Rightarrow f\left(x\right)<f\left(y\right).

Referencias consultadas: