No cabe duda de la vasta complejidad de la mente humana. La cosmovisión de cada individuo, derivada de la subjetividad de la percepción y aunada a la relatividad de la mayoría de los asuntos que nos conciernen, hacen del hombre un ente casi ininteligible.
Hoy día, merced a las redes sociales y a la presta difusión de la información, hemos podido atestiguar cuantiosos y memorables momentos que dan fe de ello y que hacen a nuestra especie más que peculiar.
A propósito y para muestra, baste a nuestros lectores recordar el reciente y gracioso momento en el que una polémica servidora pública se dijo ofendida al ser llamada «señora» por su entrevistadora.
Desconocemos el porqué de su indignación. El diccionario de la RAE no recoge ninguna acepción en que se considere peyorativo su uso. Por el contrario, el término aparece siempre ligado a tratamientos de cortesía y distinción.
La psicología y la psiquiatría mucho han de ahondar todavía para desentramar que ocurre en mentes así.
Por lo que a nosotros respecta, proponemos esta semana un sencillo desafío relacionado con este desvarío. Esperamos gusten de él.
ACERTIJO
\def\arraystretch{1.5}\color{MediumVioletRed}\begin{array}{l}\texttt{Dificultad: 2/5.}\\ \texttt{Temas: Desigualdades, multiplicadores de Lagrange.}\end{array}
Una condesa quien un día malhumorada estaba, decidió decretar que ninguna mujer podría ser llamada señora mientras su edad fuese menor que el mínimo valor de la expresión
x^2+4xy+4y^2+2z^2
siendo x,\,y y z números reales positivos que satisfacen la condición
xyz=32
¿Cuál es dicha edad?
¡Ponte a prueba e inténtalo!
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SOLUCIÓN
Este problema puede resolverse por dos vías bien distintas. Podríamos optar por el método de los multiplicadores de Lagrange o usar en su lugar algunas célebres desigualdades. Nos concentraremos primero en este último caso.
La desigualdad aritmético-geométrica
Dado un conjunto de \,n\, números reales, \left\{a_1,a_2,\ldots, a_n\right\}, definimos la media aritmética de los mismos como
\begin{equation}
\displaystyle\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k
\end{equation}y su media geométrica como
\begin{equation}
\sqrt[n]{a_1 a_2\cdot\ldots\cdot a_n\vphantom{|}}=\left(\;\prod_{k=1}^{n}a_k\right)^{1/n}
\end{equation}Si a_1,a_2,\ldots,a_n son no negativos y \,n\, es un entero positivo mayor o igual que 1, se tiene que
\begin{equation}
\displaystyle\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1 a_2\cdot\ldots\cdot a_n\vphantom{|}}
\end{equation}La igualdad, claro está, se cumple si todos los números son iguales, es decir, si
a_1=a_2=\cdots =a_n
El lector interesado en la demostración del teorema puede referirse al siguiente enlace, donde también encontrará algunos ejemplos prácticos.
Manos a la obra…
En el caso que nos ocupa, los números x^2,\,4xy,\,4y^2 y 2z^2 son todos positivos, de modo que podemos utilizar \left(3\right) para intentar acotar su suma.
Por ejemplo,
\begin{array}{rclcl}
\displaystyle \frac{x^2+4y^2}{2}&\ge&\sqrt{4x^2y^2\vphantom{\big|}}&=&2xy
\end{array}de donde se sigue que
\begin{equation}
x^2+4y^2\ge4xy
\end{equation}En consecuencia, al sumar 4xy y 2z^2 en ambos miembros, resulta
\begin{equation}
x^2+4y^2+4xy+2z^2\ge4xy+4xy+2z^2
\end{equation}pero
\def \arraystretch{2.3}
\begin{array}{rcll}
\displaystyle \frac{4xy+4xy+2z^2}{3}&\ge&\sqrt[3]{4xy\cdot4xy\cdot2z^2\vphantom{\big|}}&=\\
&=&\sqrt[3]{32\left(xyz\right)^2\,}&\\
&=&\sqrt[3]{32\cdot32^2\vphantom{\big|}\,}\\\
&=&\sqrt[3]{32^3\,\vphantom{\big|}}\\
&=&32
\end{array}y, por lo tanto
4xy+4xy+2z^2\ge3\cdot32=96
Luego, según según se desprende de \left(5\right)
\colorbox{lavender}{\(\phantom{xxx}x^2+4y^2+4xy+2z^2\ge96\vphantom{\Bigg|}\phantom{xxx}\)}Así, según el decreto, se prohíbe llamar señora a toda mujer menor de 96 años. Un día posterior al nonagésimo sexto cumpleaños, no habrá más problema.
Multiplicadores de Lagrange
Si bien la exposición del método es un tanto engorrosa como para incluirla aquí, su utilización es bastante simple. El lector que desee conocer por vez primera el procedimiento o repasar los pormenores del mismo, puede remitirse a la siguiente web. Para su comprensión bastarán conceptos fundamentales sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables.
Dejaremos como ejercicio al lector comprobar que la terna ordenada que satisface las restricciones impuestas es
\begin{equation}
\left(x,y,x\right)=\left(4,2,4\right)
\end{equation}Por si resultase de utilidad, el punto de partida será construir la función de Lagrange. En este caso tomará la forma
\begin{equation}
F\left(x,y,z\right)=x^2+4xy+4y^2+2z^2-\lambda(xyz-32),\phantom{xxx}\lambda\in\mathbb{R}
\end{equation}Luego, los puntos críticos habrán de satisfacer el sistema
\begin{equation}
\def\arraystretch{2.5}
\left.
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}&=&0\\
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}&=&0\\
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}&=&0\\
xyz-32&=&0\\
\end{array}
\color{LightGray}\right\},\phantom{xxx}x,y,z>0
\end{equation}De su resolución de llega a la misma conclusión que en el apartado anterior.
Bibliografía consultada:
Sepulcre, J., Conde, J. (2013). Problemas elementales de olimpiadas matemáticas. Alicante, España: Publicaciones Universidad de Alicante.
