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Matemáticas recreativas

La matemática es, sin duda, el lenguaje de la naturaleza, el lenguaje de la precisión y bien podría decirse también, que el lenguaje de la verdad.

Pese a ser una asignatura temida por la mayoría de los estudiantes en edad escolar, nada en ella hay que con paciencia, creatividad y esmero no pueda ser entendido.

Más aún, si hacemos de ella una compañera de vida, seremos ciudadanos críticos y analíticos las más de las veces.

Con este mismo espíritu, proponemos enseguida a nuestros lectores un enigma, un acertijo jocoso que no requiere mas que conocimientos de aritmética elemental para ser resuelto. Hemos de precisar que pudiera ser muy útil saber un poco sobre el manejo de las llamadas desigualdades (que no son mas que relaciones de orden entre números), aunque no es indispensable.

¡Ánimo y adelante!

ACERTIJO – La cena del conservadurismo

En una pomposa y exclusiva fiesta se han reunido dieciséis miembros del Congreso de la Unión para celebrar el cumpleaños de uno de ellos.

Todos son diputados o senadores y pertenecen al PAN o a MC. Hay más miembros del PAN que de MC y, no obstante, son más los diputados de MC que los del PAN.

El número de diputados del PAN supera al de sus senadores, y al menos uno de los asistentes es senador de MC.

Tener en cuenta o no al cumpleañero no altera ninguna de las proporciones ya referidas (es decir, que aún sin considerarle, todas las afirmaciones hechas sobre cada grupo parlamentario siguen verificándose).

Se pide, pues, determinar el partido al que pertenece el festejado y su calidad de diputado o senador.

Suplicamos al lector no rendirse pronto e intentarlo cuantas veces haga falta antes de leer la solución.

SOLUCIÓN

Comencemos por escribir las cinco afirmaciones dadas en el enunciado en lenguaje matemático. Designaremos por d_{_{PAN}} y s_{_{PAN}} a los diputados y senadores del PAN, respectivamente. Y, de forma análoga, rotularemos con d_{_{MC}} y s_{_{MC}} a su símiles del movimiento naranja. Así, pues

\begin{gather}
          d_{_{PAN}}+d_{_{MC}}+s_{_{PAN}}+s_{_{MC}}=16\vphantom{\Bigg|}\\
          d_{_{PAN}}+s_{_{PAN}}>d_{_{MC}}+s_{_{MC}}\vphantom{\Bigg|}\\
          d_{_{MC}}>d_{_{PAN}}\vphantom{\Bigg|}\\
          d_{_{PAN}}>s_{_{PAN}}\vphantom{\Bigg|}\\
          s_{_{MC}}\geq1\vphantom{\Bigg|}
\end{gather}

La primera de las inecuaciones admite, en concordancia con la ecuación \left(1\right), siete posibilidades (es decir, siete combinaciones de números que suman 16 y que satisfacen la desigualdad); a saber:

\begin{gather}
          9>7\vphantom{\Bigg|}\\
          10>6\vphantom{\Bigg|}\\
          11>5\vphantom{\Bigg|}\\
          12>4\vphantom{\Bigg|}\\
          13>3\vphantom{\Bigg|}\\
          14>2\vphantom{\Bigg|}\\
          15>1\vphantom{\Bigg|}\\
\end{gather}

Si bien a partir de ahora pudiéramos ensayar soluciones por prueba y error, resulta sumamente instructivo echar mano de algunas propiedades elementales de las desigualdades para simplificar o acotar nuestros cálculos. Así, atendiendo al hecho de que

\begin{gather*}
\forall \,a,b,c,d\in\mathbb{R},\vphantom{\Bigg|} \\\textrm{\,\,si\,\,}\left(a>b\right)\land\left(c>d\right)\Leftrightarrow a+c>b+d
\end{gather*}

podemos sumar las desigualdades \left(2\right) y \left(3\right) para obtener

d_{_{PAN}}+d_{_{MC}}+s_{_{PAN}}>d_{_{PAN}}+d_{_{MC}}+s_{_{MC}}\vphantom{\Bigg|}

que puede reducirse a

\begin{gather}
          s_{_{PAN}}>s_{_{MC}}\vphantom{\Bigg|}\\
\end{gather}

En virtud de esta expresión y de \left(5\right), podemos argüir que

\begin{gather}
          s_{_{PAN}}>1\vphantom{\Bigg|}\\
\end{gather}

y, de este resultado y \left(4\right), concluimos también que

\begin{gather}
          d_{_{PAN}}>1\vphantom{\Bigg|}\\
\end{gather}

Más aún, como d_{_{MC}}>d_{_{PAN}}, entonces

\begin{gather}
          d_{_{MC}}>1\vphantom{\Bigg|}\\
\end{gather}

y, consecuentemente

\begin{gather}
          d_{_{MC}}+s_{_{MC}}>2\vphantom{\Bigg|}\\
\end{gather}

Este resultado es de gran interés, pues nos permite descartar de una vez las posibilidades dadas en \left(11\right) y \left(12\right).

Las posibilidades restantes dan lugar, por comparación con \left(2\right), a cinco sistemas de ecuaciones:

\begin{gather}
\left.
          \begin{array}{rcl}
                     d_{_{PAN}}+s_{_{PAN}}&=&9\\
                     \\
                     d_{_{MC\phantom{A}}}+s_{_{MC\phantom{A}}}&=&7\\
          \end{array}
\right\}
\end{gather}
\begin{gather}
\left.
          \begin{array}{rcl}
                     d_{_{PAN}}+s_{_{PAN}}&=&10\\
                     \\
                     d_{_{MC\phantom{A}}}+s_{_{MC\phantom{A}}}&=&6\\
          \end{array}
\right\}
\end{gather}
\begin{gather}
\left.
          \begin{array}{rcl}
                     d_{_{PAN}}+s_{_{PAN}}&=&11\\
                     \\
                     d_{_{MC\phantom{A}}}+s_{_{MC\phantom{A}}}&=&5\\
          \end{array}
\right\}
\end{gather}
\begin{gather}
\left.
          \begin{array}{rcl}
                     d_{_{PAN}}+s_{_{PAN}}&=&12\\
                     \\
                     d_{_{MC\phantom{A}}}+s_{_{MC\phantom{A}}}&=&4\\
          \end{array}
\right\}
\end{gather}
\begin{gather}
\left.
          \begin{array}{rcl}
                     d_{_{PAN}}+s_{_{PAN}}&=&13\\
                     \\
                     d_{_{MC\phantom{A}}}+s_{_{MC\phantom{A}}}&=&3\\
          \end{array}
\right\}
\end{gather}

Para resolverlos hemos de tener presentes las restricciones que el enunciado plantea. Por ejemplo, en la primera de las ecuaciones \left(18\right), aunque pudiéramos expresar al 9 de diez formas distintas (utilizando los enteros que hay en el intervalo \left[0,9\right]\subset \mathbb{R}), no todas son válidas, como detallaremos mas adelante.

Así, entendiéndose (tal y como se desprende de los rótulos asignados) que el primer sumando alude a los diputados del PAN, mientras que el segundo, a sus senadores, tales posibilidades son

\begin{gather}
          \begin{array}{rcl}
                   \color{orangered}9&\color{orangered}=&\color{orangered}9+0\,\,\,\,\,\,\xcancel{\phantom{|.}}\vphantom{\Big|}\\
                   \color{orangered}9&\color{orangered}=&\color{orangered}8+1\,\,\,\,\,\,\xcancel{\phantom{|.}}\vphantom{\Big|}\\
                   \color{ForestGreen}9&\color{ForestGreen}=&\color{ForestGreen}7+2\,\,\,\,\,\,\vphantom{\Big|}\\
                   \color{ForestGreen}9&\color{ForestGreen}=&\color{ForestGreen}6+3\,\,\,\,\,\,\vphantom{\Big|}\\
                   \color{ForestGreen}9&\color{ForestGreen}=&\color{ForestGreen}5+4\,\,\,\,\,\,\vphantom{\Big|}\\
                   \color{orangered}9&\color{orangered}=&\color{orangered}4+5\,\,\,\,\,\,\xcancel{\phantom{|.}}\vphantom{\Big|}\\
                   \color{orangered}9&\color{orangered}=&\color{orangered}3+6\,\,\,\,\,\,\xcancel{\phantom{|.}}\vphantom{\Big|}\\
                   \color{orangered}9&\color{orangered}=&\color{orangered}2+7\,\,\,\,\,\,\xcancel{\phantom{|.}}\vphantom{\Big|}\\
                   \color{orangered}9&\color{orangered}=&\color{orangered}1+8\,\,\,\,\,\,\xcancel{\phantom{|.}}\vphantom{\Big|}\\
                   \color{orangered}9&\color{orangered}=&\color{orangered}0+9\,\,\,\,\,\,\xcancel{\phantom{|.}}\vphantom{\Big|}\\
          \end{array}
\end{gather}

Podemos desechar de inmediato las primeras dos opciones, pues en ambas el número de senadores del PAN, \,0\textrm{\,\,y\,\,}1\,, es menor que dos, contradiciendo a \left(14\right). Lo mismo ocurre con las últimas dos, en las que el número de diputados del PAN es también menor que dos, en clara contradicción con \left(15\right).

Por su parte, sabemos que las opciones sexta, séptima y octava son prescindibles, pues ninguna de ellas satisface \left(4\right).

Tocante a la segunda de las ecuaciones \left(18\right), los tres posibles valores de d_{_{PAN}}, 7,\,6\textrm{\,\,y\,\,}5, restringen los valores de d_{_{MC}}, en virtud de que d_{_{MC}}>d_{_{PAN}}.

Si ocurriera que d_{_{PAN}}=7, ya que el entero más pequeño inmediato superior a 7 es 8, debiera cumplirse que d_{_{MC}}\ge 8, entrando en franco conflicto con el supuesto de que d_{_{MC}}+s_{_{MC}}=7. Luego, podemos descartar esta opción.

De forma similar, si admitiéramos que d_{_{PAN}}=6, sería preciso d_{_{MC}}= 7 y que, en consecuencia, s_{_{MC}}= 0, suponiendo una violación a lo establecido en \left(5\right).

Finalmente, si d_{_{PAN}}=5, entonces habrá de cumplirse que d_{_{MC}}= 6 y s_{_{MC}}= 1. Esta posibilidad armoniza con todas las ligaduras impuestas y es, de hecho, la única solución al problema.

Invitamos al lector a comprobar que ninguno de los sistemas de ecuaciones restantes es compatible con las desigualdades planteadas.

En suma, hemos hallado que

\begin{gather}
          \color{royalblue}d_{_{PAN}}=5\vphantom{\Bigg|}\\
          \color{royalblue}s_{_{PAN}}=4\vphantom{\Bigg|}\\
          \color{orangered}d_{_{MC}}=6\vphantom{\Bigg|}\\
          \color{orangered}s_{_{MC}}=1\vphantom{\Bigg|}\\
\end{gather}

Ahora bien, si el tener en cuenta o no al homenajeado no afecta las proporciones de los grupos parlamentarios, entonces este

  • NO puede ser d_{_{PAN}}, pues en tal caso, d_{_{PAN}}\not > s_{_{PAN}},
  • NO puede ser d_{_{MC}}, pues de serlo, d_{_{MC}}\not > s_{_{PAN}},
  • NO puede ser s_{_{MC}}, pues de serlo, s_{_{MC}}\not \ge 1.

Por lo tanto, el cumpleañero debe ser senador del PAN.

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