La vicuña y El Bellaco

¿Es tu mente ingobernable? ¡Prueba adiestrarla con una buena dosis de matemáticas!

Este divertido pasatiempo ha resultado para algunos un auténtico quebradero de cabeza. ¿Cómo te las ingenierías para resolverlo?

ACERTIJO

Un noble campesino, a quien apodaban «El Bellaco» por su audacia, amarró a su rebelde vicuña a un silo cilíndrico de base circular de radio R. La longitud de la cuerda que usó vale la mitad de la longitud de la circunferencia de la torre.

Sujeta a tal atadura, ¿qué área, como máximo, puede pastar la ingobernable criatura?

¡Ponte a prueba e inténtalo!

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SOLUCIÓN

La figura siguiente pretende ilustrar la vista superior de la situación. La circunferencia centrada en el origen representa el silo, y el segmento rojo, la cuerda, dispuesta totalmente extendida, sujeta en uno de sus extremos al punto \left(R,0\right).

Claramente, la vicuña podrá pastar sin que la cuerda se arrolle sobre el silo en la región acotada por una semicircunferencia de radio \pi R. Tal aparece coloreada en azul en la ilustración siguiente.

Fuera de esta región, el silo comienza a restringir su movimiento. El resto del área de pastura que puede cubrir se ha resaltado en rojo.

El cálculo de la superficie del semicírculo es trivial:

\begin{equation}
\textcolor{blue}{A_{\textsf{azul}}}=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\left(\pi R\right)^2=\frac{1}{2}\pi^3R^2
\end{equation}

No obstante, el cálculo de la superficie restante requiere un poco de de ingenio. Comencemos por observar que cuando la cuerda se arrolla sobre la torre, cierta porción de ella forma un arco de circunferencia tangente al silo. El fragmento que queda libre es un segmento de recta, cuya longitud se acorta a medida que la longitud del arco crece.

Para aclararlo, consideremos la animación siguiente

El extremo libre de la cuerda puede modelizarse con ayuda de dos vectores: uno que apunte desde el origen de coordenadas hasta el punto donde la cuerda pierde el contacto con la torre, y otro dirigido desde este último punto hasta el extremo la amarra. Esbozamos ambos enseguida.

El primero de estos vectores tiene una representación muy sencilla, pues su extremo está siempre sobre las paredes del silo. Si le denotamos por \vec{u}, su expresión será

\def\arraystretch{1.25}\vec{u}=\left(\begin{array}{c}R\cos\theta \\ R\,\mathrm{sen}\,\theta\end{array}\right)

Por su parte, tal y como se desprende de la Figura 3, el segundo vector, al que llamaremos \vec{v}, vendrá dado por

\def\arraystretch{1.25}\vec{v}=\left(\begin{array}{c}-R\left(\pi-\theta\right) \,\mathrm{sen}\,\theta \\ \phantom{-}R\left(\pi-\theta\right) \cos\theta\end{array}\right)

Así, el lugar geométrico que hace las veces de frontera para la región roja vendrá dado por la suma de ambas expresiones:

\begin{equation}
\def\arraystretch{1.5}\left.\begin{array}{rcl}x\left(\theta\right)&=&R\cos\theta-R\left(\pi-\theta\right) \,\mathrm{sen}\,\theta \\ y\left(\theta\right)&=&R\,\mathrm{sen}\,\theta+R\left(\pi-\theta\right) \cos\theta\end{array}\right\}\text{, \phantom{---}}\theta\in\left[0,2\pi\right)
\end{equation}

Más aún, en virtud de la periodicidad de las funciones sinusoidales, podemos hacer el cambio de variable

\begin{equation}
t=\theta-\pi
\end{equation}

Obteniéndose así las ecuaciones

\color{IndianRed}
\begin{equation}
\def\arraystretch{1.25}
\left.
\begin{array}{rcr}
    x\left(t\right)&=&-R\cos t-Rt \,\mathrm{sen}\,t \\
     y\left(t\right)&=&-R\,\mathrm{sen}\,t+Rt \cos t\vphantom{\Big|}
\end{array}\right\}\text{, \phantom{---}}t\in\left[-\pi,\pi\right)
\end{equation}

Ahora bien, si la curva es recorrida en sentido horario en el intervalo I=\left[a,b\right]\subseteq \mathbb{R}, entonces el área del recinto que delimita vendrá dada por

\def\arraystretch{3.125}\begin{array}{rcl}A&=&\displaystyle\int_a^b dA\\&=&\displaystyle\int_a^b y\;dx\\&=& \displaystyle\int_a^b \small y\left(t\right)\cdot\frac{d}{dt}x\left(t\right)\;dt\end{array}

En cambio, si la curva es recorrida en sentido antihorario (es decir, si su orientación inducida es positiva), tendremos

A=-\displaystyle\int_a^b \small y\left(t\right)\cdot\frac{d}{dt}x\left(t\right)\;dt

El caso que nos ocupa es de esta última clase. En consecuencia, y sin perder de vista que el área sobre la que se asienta el silo no es de pastura, y echando además mano de la simetría del problema, argüimos que

\begin{equation}
\textcolor{OrangeRed}{A_{\textsf{roja}}}=-2\displaystyle\int_{0}^{\pi} \small y\left(t\right)\cdot\frac{d}{dt}x\left(t\right)\;dt-\normalsize\textcolor{CornflowerBlue}{A_{\textsf{base del silo}}}
\end{equation}

Así, siendo

\frac{d}{dt}x\left(t\right)=-Rt \cos t

obtenemos

\def\arraystretch{2.5}\begin{array}{rcl}\displaystyle y\left(t\right)\cdot\frac{d}{dt}x\left(t\right)&=&R^2\left(t\,\mathrm{sen}\,t\cos t-t^2\cos^2 t\right)\\  &=&\displaystyle R^2\left(\frac{1}{2}\,t\,\mathrm{sen}\,2t-t^2\cos^2 t\right)\end{array}

Luego

\begin{array}{rcl}
\textcolor{OrangeRed}{A_{\textsf{roja}}}=-2R^2\left(\displaystyle\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} t\,\mathrm{sen}\,2t\;dt-\int_{0}^{\pi} t^2\cos^2 t\;dt\right)-\pi R^2
\end{array}

y como

\cos^2t=\displaystyle\frac{1}{2}\left(1+\cos 2t\right)

podemos escribir

\small
\def\arraystretch{3.25}
\begin{array}{rcl}
\textcolor{OrangeRed}{A_{\textsf{roja}}}&=&-2R^2\left(\displaystyle -\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} t^2\;dt+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} t\,\mathrm{sen}\,2t\;dt-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} t^2\cos2 t\;dt\right)-\pi R^2\\
&=&R^2\left(\displaystyle \int_{0}^{\pi} t^2\;dt-\int_{0}^{\pi} t\,\mathrm{sen}\,2t\;dt+\int_{0}^{\pi} t^2\cos2 t\;dt\right)-\pi R^2
\end{array}

La primera de estas integrales es inmediata. Las que le siguen pueden resolverse por el método tabular de integración por partes. El resultado es

\def\arraystretch{2.9}
\begin{array}{rcl}
\textcolor{OrangeRed}{A_{\textsf{roja}}}&=&\small R^2\left(\displaystyle \textcolor{MediumOrchid}{\frac{1}{3} t^3}\textcolor{LightSeaGreen}{+\frac{1}{2}t\cos2t-\frac{1}{4}\,\mathrm{sen}\,2t}\textcolor{LightCoral}{+\frac{1}{2}t^2\,\mathrm{sen}\,2t+\frac{1}{2}t\cos 2t-\frac{1}{4}\,\mathrm{sen}\,2t}\right)\Bigg|_{0}^{\pi}+\\
&&-\pi R^2\\
&=&\displaystyle R^2\left(\frac{1}{3} t^3 +\frac{1}{2}t^2\,\mathrm{sen}\,2t+t\cos 2t-\frac{1}{2}\,\mathrm{sen}\,2t\right)\Bigg|_{0}^{\pi}-\pi R^2\\
&=&\displaystyle R^2\left(\frac13 \pi^3+\pi\right)-\pi R^2\\
&=&\displaystyle \frac13 \pi^3 R^2+\pi R^2-\pi R^2\\
&=&\displaystyle \frac13 \pi^3 R^2
\end{array}

En suma

\begin{equation}
\def\arraystretch{2.5}
\begin{array}{rcl}
A_{\textsf{pastura}}&=&\textcolor{OrangeRed}{A_{\textsf{roja}}}+\textcolor{Blue}{A_{\textsf{azul}}}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{3}\pi^3R^2+\frac{1}{2}\pi^3R^2\\
&=&\displaystyle\frac{5}{6}\pi^3R^2
\end{array}
\end{equation}

Bibliografía consultada:

Evnin, A. Yú. (2015). 150 elegantes problemas para futuros matemáticos (con soluciones detalladas). Moscú, Rusia: Krasand (URSS Scientific Books).

Marsden, J. E., Tromba, A. J. (2004). Cálculo vectorial. Madrid, España: Pearson Educación.

Adams, R. A. (2009). Cálculo. Madrid, España: Pearson Educación.