¿Habrá mejor manera de terminar la diaria faena que poniendo a trabajar a toda máquina a ese receptáculo de materia gris?
Ven y adentrémonos una vez más en los mares del álgebra y la geometría con este sencillo enigma.
ACERTIJO
Dificultad: 2 / 5
Temas: Álgebra, Geometría, Teoría de conjuntos.
Dos conocidas figuras de la política nacional (dama y caballero), quienes coincidieron en una reunión, decidieron participar en un breve desafío matemático tras haber concluido los compromisos de su agenda.
Consistía este en determinar los valores del parámetro a, \;a\in\mathbb{R}^{+}, para que la intersección de los conjuntos
A=\left\{\left(x,y\right)\; :\;\lvert \,x\,\rvert + \lvert \,y\,\rvert=a,\;a>0\vphantom{\Big|}\right\}y
B=\left\{\left(x,y\right)\;:\;\lvert \,xy\,\rvert + 1=\lvert\,x\,\rvert +\lvert\,y\,\rvert \vphantom{\Big|}\right\}estuviese formada por los vértices de un octágono regular. La dama, que era de mente ágil, consiguió terminar primero y acertadamente.
¿Cuáles son esos valores?
¡Ponte a prueba e inténtalo!
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SOLUCIÓN
En el acertijo del pasado 1.º de marzo (El embaldosado de la celda del recién juzgado) nos hemos ocupado de los pormenores de la función valor absoluto. Aquí de nuevo nos topamos con ella.
El lector deseoso de revisar su definición puede remitirse al mismo.
Manos a la obra…
Por lo que respecta al primero de los conjuntos, le constituyen cuatro segmentos de recta perpendiculares dos a dos1 y que, claramente, dan lugar a un cuadrado de lado \sqrt{2}\,a.
Tales segmentos vienen dados por las relaciones
\def \arraystretch{1.5}
\begin{array}{rclclr}
x+y&=&a&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;I}\\
-x+y&=&a&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;II}\\
-x-y&=&a&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;III}\\
x-y&=&a&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;IV}\\
\end{array}
Fig. 1 – El cuadrado determinado por A. Siendo por ahora el valor de a, indeterminado, hemos prescindido de las graduaciones en los ejes.
Por su parte, y también en virtud de la definición del valor absoluto, el segundo de los conjuntos queda descrito por las siguientes cuatro expresiones
\def \arraystretch{1.5}
\begin{array}{rclclr}
xy+1&=&x+y&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;I}\\
-xy+1&=&-x+y&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;II}\\
xy+1&=&-x-y&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;III}\\
-xy+1&=&x-y&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;IV}\\
\end{array}que bien pueden ser escritas como
\begin{equation}
\def \arraystretch{1.5}
\begin{array}{rclclr}
xy-x&=&y-1&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;I}\\
-xy+x&=&y-1&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;II}\\
xy+x&=&-y-1&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;III}\\
-xy-x&=&-y-1&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;IV}\\
\end{array}
\end{equation}o, como
\begin{equation}
\def \arraystretch{1.5}
\begin{array}{rclclr}
xy-y&=&x-1&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;I}\\
-xy-y&=&-x-1&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;II}\\
xy+y&=&-x-1&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;III}\\
-xy+y&=&x-1&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;IV}\\
\end{array}
\end{equation}Según se advierte, podríamos tomar \,x\, como factor común del miembro izquierdo de cada una de las ecuaciones \left(1\right) y resolverlas para dicha variable. O, de igual forma, pudiéramos tomar \,y\, como factor común en el miembro izquierdo de cada una de las ecuaciones \left(2\right) y resolverlas para esta variable.
En el primero de estos caso tendríamos
\def \arraystretch{1.5}
\begin{array}{rclclr}
\left(y-1\right)x&=&y-1&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;I}\\
-\left(y-1\right)x&=&y-1&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;II}\\
\left(y+1\right)x&=&-\left(y+1\right)&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;III}\\
-\left(y+1\right)x&=&-\left(y+1\right)&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;IV}\\
\end{array}de donde se sigue que
\def \arraystretch{1.5}
\begin{array}{rclclr}
x&=&1&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;I}\\
x&=&-1&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;II}\\
x&=&-1&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;III}\\
x&=&1&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;IV}\\
\end{array}y que no es sino el par de rectas paralelas x=\pm 1.
Haciendo lo propio para las ecuaciones \left(2\right), queda
\def \arraystretch{1.5}
\begin{array}{rclclr}
\left(x-1\right)y&=&x-1&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;I}\\
-\left(x+1\right)y&=&-\left(x+1\right)&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;II}\\
\left(x+1\right)y&=&-\left(x+1\right)&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;III}\\
-\left(x-1\right)y&=&x-1&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;IV}\\
\end{array}de donde, claro está, hallamos
\def \arraystretch{1.5}
\begin{array}{rclclr}
y&=&1&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;I}\\
y&=&1&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y\geq0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;II}\\
y&=&-1&\mathrm{si}&\left(x< 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;III}\\
y&=&-1&\mathrm{si}&\left(x\geq 0\right)\land\left(y<0\right)&\color{LightGray}\footnotesize\mathrm{cuadrante\;IV}\\
\end{array}que es, de nuevo, un par de rectas paralelas; a saber y=\pm 1.
Esto no nos sorprende, pues la función
f\left(x,y\right)=\lvert \, xy \,\rvert - \lvert \, x \,\rvert - \lvert \, y \,\rvert + 1
es simétrica; es decir, satisface que
f\left(x,y\right)=f\left(y,x\right)
Luego, el segundo conjunto está formado por dos pares de rectas y luce como en la Fig. 2
Fig. 2 – Las rectas definidas por el conjunto B.
Así pues, las intersecciones de ambos conjuntos pueden estar sobre la frontera del cuadrado C=\left[-1,1\right]\times \left[-1,1\right], como se muestra en la Fig. 3,
Fig. 3 – Si \,1<a<2\,, las intersecciones ocurren sobre los contornos del recinto C=\left[-1,1\right]\times \left[-1,1\right]. Estos valores se obtienen, por ejemplo, al considerar que el segmento de recta dado por las expresiones \,y=-x+a,\, x\geq 0 ,\, y\geq0 \, es tangente a C en el punto \left(1,1\right). Luego, allí habrá de cumplirse que a=2.
Por otro lado, si el cuadrado tuviese lado \,\sqrt{2\,}\, (lo que ocurre cuando a=1 ), no intersecaría mas que cuatro veces con la frontera de C, incumpliéndose así el requerimiento de formar un octágno.
o fuera de él, como se ilustra enseguida
Fig. 4 – Si a>2, las intersecciones ocurren fuera del recinto C=\left[-1,1\right]\times \left[-1,1\right].
Es tarea sencilla advertir que las ocho intersecciones así dispuestas conforman, en cada caso, los vértices de un octágono.
Como el segundo caso es más sencillo, nos ocuparemos de él en primer lugar.
Al observar la figura, notaremos que para que los puntos resaltados en anaranjado sean los vértices de un octágono regular, la distancia entre dos consecutivos ha de valer 2 (que es la única medida posible de los lados paralelos al eje x).
Consideremos ahora los vértices que yacen sobre los segmentos de recta inclinados y cuyas coordenadas dependen del parámetro \,a\,. Si junto con las rectas definidas por el conjunto B construimos un triángulo rectángulo como el de la Fig. 5,
Fig. 5 – En verde, un triángulo rectángulo cuya hipotenusa se extiende entre dos vértices consecutivos del (por ahora) octágono irregular.
concluiremos que su hipotenusa (que hará las veces de uno de los lados del octágono) debe verificar que2
\def \arraystretch{2}
\begin{array}{rcl}
\sqrt{\left(a-2\right)^2+\left(a-2\right)^2}&=&2\Rightarrow\\
\sqrt{2\,}\;\lvert \,a-2\,\rvert&=&2
\end{array}Y como aquí a >2, entonces \lvert \, a-2\,\rvert = a - 2. De este modo
\colorbox{lavender}{\(\displaystyle \phantom{xxx} a=2\left(1+\frac{1}{\sqrt{2\;}}\right)\vphantom{\Bigg|^{|}_{|}}\phantom{xxx} \)}Por lo que respecta al caso a<2, tal y como se desprende de la figura siguiente,
Fig. 6 – Construcción para el caso a<2.
ha de verificarse que
\def \arraystretch{2.7}
\begin{array}{rcl}
\sqrt{\left(2-a\right)^2+\left(2-a\right)^2}&=&2a-2\Rightarrow\\
\sqrt{2\,}\;\lvert \,2-a\,\rvert&=&2a-2\Rightarrow\\
\sqrt{2\,}\;\left(2-a\right)&=&2a-2\Rightarrow\\
2\sqrt{2\,}-\sqrt{2\,}a&=&2a-2\Rightarrow\\
\left(2+\sqrt{2\,}\right)a&=&2\left(1+\sqrt{2\,}\right)\Rightarrow\\
a&=&2\cdot\displaystyle\frac{1+\sqrt{2\,}}{2+\sqrt{2\,}}\\
&=&2\cdot\displaystyle\frac{1+\sqrt{2\,}}{2+\sqrt{2\,}}\cdot\frac{2-\sqrt{2\,}}{2-\sqrt{2\,}}\\
&=&2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{2\,}}{4-2}\\
&=&2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{2\,}}{2}\\
&=&\sqrt{\,2}
\end{array}es decir,
\colorbox{Lavender}{\(\phantom{xxx}a=\sqrt{2\,}\vphantom{\Big|^{|}_{|}}\phantom{xxx}\)}No hay más valores posibles.
Ilustramos enseguida ambos octágonos:
Fig. 7 – En azul, el octágono regular para el que a=2\left(1+1/\sqrt{2\,}\right). En violeta, el octágono regular para el que a=\sqrt{2\,}.
1 Tomados de forma contigua, por supuesto.
1 Recuérdese que \sqrt{x^2\,}\equiv\lvert\,x\,\rvert
